1 dp

водимости), ix - плотность управляющего тока, -

средний градиент удельного сопротивления (в направлении протекания управляющего тока).

Если характеристики токовых контактов датчика Холла не являются идеально линейными (имеют некоторое сходство с р-д-переходом), это также может быть причиной инжекции носителей тока в пластину. Этот эффект особенно заметен в случае германиевых или кремниевых пластин. Тогда контакты отчасти имеют некоторые черты р-п-переходов. Примем в этом случае следующие обязательные в элементарной теории р-п-перехода предположения, которые гласят:

1. Толщина слоя перехода столь мала, что носители тока преодолевают его ез рекомбинации.

2. Концентрация инжектированных неосновных носителей много меньше концентрации основных носителей тока.

3. Размеры области л-типа (р-типа) много больше Lp.{Ln) (т. е. длина пластины датчика Холла велика по сравнению с диффузионной длиной Lp или L„).

При таких предположениях концентрация инжектированных носителей в плоскости перехода (х = 0) (рис. 2-9) равна:

(2-21)

где р„ -равновесная концентрация дырок в д-области, t/ftj - напряжение на переходе, р = к7/е.

Решая уравнения непрерывности, можно получить формулу для распределения избыточной концентрации носителей тока в толще полупроводника в результате их дрейфа в электрическом поле, связанном с током I- Эта формула имеет вид:

(2-22)

где 6р - неравновесная стационарная концентрация носителей тока на расстоянии х от перехода.

(2-23)

причем Lpg = yDx, D - коэффициент диффузии носителей

тока, а величина б равна:

p.*Z,po

(2-24) (2-25)

Окончательный вид формулы, описывающей распределение избыточной концентрации носителей тока в результате инжекции через контакт, будет следующим:

Ьр = рп& "е

(2-26)

Явление инжекции носителей тока может быть причиной появления напряжения Тауца. Эффект Тауца проявляется в случае прохождения инжектированных носителей тока через область, в которой имеет место градиент удельного сопротивления между холловскими электродами. При этом в случае инжектирования каким-либо образом избыточных носителей тока на холловских электродах появляется напряжение Тауца. Электрическое поле, возникающее в результате этого эффекта, определяется зависимостью [Л. 437]

Рис. 2-9. Распределение инжектированных носителей тока в при-контактяой области.

5,„ = ~

-gradSj

(2-27)

где [хо - подвижность носителей, соответствующая амби-полярному дрейфу, Eq -потенциал внутреннего поля, связанного с существованием градиента концентрации примеси в полупроводнике.

В случае обычной геометрии датчика Холла носители тока инжектируются вдоль оси х, т. е. в направлении протекания тока, а напряжение Тауца появляется в направлении у. Учитывая, что

P=-i--. (2-28)

а также, что

этой силы в соответствии с рис. 2-10

получим следующее выражение для напряжения Тауца в датчике Холла:

(2-29)

В общем случае напряжение Тауца можно представить в виде степенного ряда {Л. 246 и 248]

(2-30)

Что касается эффекта Баранского, то, хотя он и лине- ей по току, однако ввиду существования температурных зависимостей ,р, распределения р, а в особенности рмакс, и в этом случае появляются члены с более высокими показателями степени. При инжекции носителей тока через токовый контакт наличие величины напряжения Uut в показателе степени (2-26) приводит к экспоненциальной зависимости Uyw(Ix)-

2-4. ЭФФЕКТ ХОЛЛА

Эффект Холла возникает при воздействии магнитного поля на ток, протекающий через полупроводник. Пренебрежем пока что статистическим распределением энергии носителей тока и предположим, что все носители имеют одинаковую скорость. Для упрощения рассмотрим полупроводник, в котором имеются носители только п-типа. Если выбрать систему координат, изображенную на рис. 2-10, то выражение для силы Лоренца F, которая воздействует на носители тока, двигающиеся в магнитном поле, можно записать в виде

F = ~e[vB],

(2-31)

где V -средняя скорость носителей заряда в направлении линии тока.

Под влиянием силы Лоренца носители тока приобретают составляющую скорости в направлении действия 30

нп е

(2-32)

где рнп - холловская подвижность электронов.

Поскольку из (2-7) видно, что скорость, приобретенная электроном в электрическом поле Е, равна

Vx = -fA™E,

то полная скорость носителей тока, полученная в результате действия электрического и магнитного полей, описывается зависимостью

v„ = Vx + v. = - ц„Е - х,„-== - tt„E + [VnB].

(2-33)*

В соответствии с уравнениями (2-6) и (2-33) получаем выражение для плотности тока, текущего в образце при воздействии электрического поля В и магнитной индукции В:

i„ = - envn = еп(л™Е - [v„B]. (2-34)

Повторно обращаясь к формуле (2-6), имеем:

i„=ertji„E-4-.„linBl. (2-35)

Это векторное уравнение для плотности тока, текущего в образце, которое иллюстрировано также рис. 2-10. Если угол между плотностью тока i„ и направлением

* В уравнение (2-33) входят подвижности, обозначенные через я рнп. Согласно упрощенной теория электропроводности движение носителей тока в полупроводниках должно характеризоваться одной подвижностью. Однако, как оказывается, подвижность, определенная нз измерений скорости дрейфа носителей в электрическом поле, в некоторых материалах не равна подвижности, определенной из измерении эффекта Холла и электропроводности. В дальнейшем мы не будем делать различия между холловской и дрейфовой подвижностью; следует, однако, помнить, что прн этом допускается ошибка, которую прн точных расчетах нужно принять во внимание.

SЛeкtpичeckoгo поля ё обозначить как угол Холла б„, то, можно показать, что

tge„=-finB. (2-36)

Рассматривая малые углы 0„, можно принять, что tg0„~0„. Обозначим еще В/В=Ь.

Пользуясь формулой (210), запищем зависимость (2-35) в виде

i„==<,„E-hlinbl6n.

(2-37)

Рис. 2-10. Система токов в полупровод-иике, находящемся под действием магнитного поля.

Чтобы получить квадратичные по 9„ члены, перепи-щем выражение (2-37) в другом виде

,-„ = а„Е-Ь[(<пЕ-ЫпЬ]вп)Ь18«

(2-38)

Примем еще, что в квадратных скобках уравнения (2-38) in~cT„E. Подставив это выражение, получим -зависимость для плотности тока в виде (2-39)

in = »пЕ -Ь [(«пЕ -Ь lEb] в„) Ь1 бп.

(2-39)

Выполняя умножение, получим: -

i„ = <,„Е + а„8„ [ЕЬ] + а„6 (ЕЬ) b - oj Е. (2-40)

Предположим теперь, что в направлении у ток протекать не может (например, в силу незамкнутости электрической цепи). Тогда вектор В уже не будет параллелен оси X. Чтобы найти электрическое поле в холловской пластине в этом случае, положим в (2-40) in = i, где illx.

Решая уравнение (2-40) относительно- Е и располагая соответственно составляющие этого вектора, получим:

Е - (1+ 9) Ы - РпбпШЬ] - b (ib).

(2-41)

Из зависимости (2-41) можно определить составляющие вектора напряженности электрического поля в полупроводнике, через который протекает ток плотности i и на который воздействует магнитное поле с индукцией ЬБ.

Для принятой системы координат (i х; b z) эти составляющие соответственно равны:

J?, = (1+6=„)pA; \

£, = 0.

(2-42)

Учитывая размеры пластины датчика Холла аХЬХс, а также, что ix=Ix/bc и 1а=Ян1р, где .н- коэффициент Холла, получим выражение для соответствующих напряжений Ux, Uy, Uz.

UxRxh +

IP be

Uy = --fl,Bz; f/, = 0.

(2-43)

Напряжение Ux складывается из омического падения напряжения на пластине и напряжения, возникающего в результате так называемого продольного эффекта Холла [Л. 155].

Это последнее слагаемое обычно мало по сравнению с членом RJx- Напряжение Uy описывает поперечный эффект Холла, являющийся главным предметом настоя-3-1401 33