2. Непрерывные линейные антенны

Рассмотрим сначала интеграл (3), который имеет вид интеграла Фурье. Действительно, как известно [6], интегралом Фурье называют следующее выражение

F{t) = ~ J S ((о) ехр {Ш) da .

Здесь F (/) - любая (за некоторым исключением) непериодическая функция переменного t. Функцию S ((о) называют преобразованием Фурье функции F {t), или ее спектром. При этом, как известно, имеет место следующее равенство:

S(to)= F{t)exp{-mt)dt

Выражения (5) и (6) представляют собою пару преобразований Фурье. Они связывают между собою две в общем виде комплексные функции F (t) и S (©). Смысл этих выражений состоит в том, что непериодическая функция F (t) представлена суммой бесконечно большого числа периодических составляющих, бесконечно близких по частоте и с бесконечно малой амплитудой каждого колебания. Именно поэтому функцию S (со) и называют спектром функции F {t) по аналогии с рядом Фурье

F{x) 2 ехр (lb) ,

t6, 7], разлагаются в ряд вида

оо sin 0)0 ( - я ;т i

а их спектр - в ряд Фурье

S{)= Sf(n£)exp(-ma>3.

т. е. как функция F (t), так и ее спектр S (со) однозначно определяются значениями функции F (t) в точках t = (где п = 0,1,2,...),

отстоящих друг от друга на целое число я/щ.

Вернемся теперь к выражению (3). Как видно, функция R (z) должна принадлежать к функциям с ограниченным спектром. В этом нетрудно убедиться, если положить у = (о, щ = л:

f{y) = Q для г/< -я, г/>я;

!(У) = Ы для - я<г/<я . При этом можно написать согласно (6)

f{y)= 5 R{z)exp{-izy)dz.

Кроме того, согласно теореме Котельникова

sin я (z - /г)

Riг)=Rin)-

(10)

в котором совокупность амплитуд, составляющих Ck, называют спектром функции F{x).

Однако, в отличие от периодической функции, у которой cnejiTp всегда дискретный, так как ряд Фурье состоит хотя и из бесконечного числа колебаний, но с частотами, имеющими определенные дискретные значения, непериодическая функция, представляемая интегралом Фурье, имеет непрерывный сплошной спектр, так как частоты ее составляющих отличаются друг от друга на бесконечно малую величину.

Различают еще функции с ограниченным спектром. Для этих функций S (со) = О для со, превышающих по абсолютной величине некоторое значение, например соо, т. е. в спектре функции F (t) отсутствуют частоты выше соо.

Функции с ограниченным спектром представляют для нас наибольший интерес. Они, как это следует из теоремы Котельникова

f (у) = S (") ехр {ту) .

Следует, однако, отметить, что не любая функция с ограниченным спектром может быть диаграммой направленности. К реализуемым диаграммам направленности предъявляют более жесткие требования, а именно необходимо, чтобы для них выполнялось еще следующее неравенство [8, 9]:

J \R{z)\z<<

(12)

Таким образом, с одной стороны, мы установили условия реализуемости диаграммы направленности: она. должна быть функцией с ограниченным спектром и интегрируемой в квадрате, а с другой

стороны, мы можем для этих диаграмм определить функцию распределения поля вдоль раскрыва, которое точно ее воспроизводит. Она определяется выражением (9) или (И).

Некоторые авторы подходили к вопросу реализуемости несколько иначе 8, 91.

Непосредственно исследуя правую часть выражения (3), они показали, что она является целой функцией конечной степени < я переменного z [10], т. е. функцией, которая разлагается в ряд Тэй-лора, сходящийся всюду при любом конечном значении z, а когда г велико, ее модуль не превышает величины

Таким образом, убеждаемся, что реализуемые диаграммы направленности обязательно должны быть целыми функциями переменного z= j-stna конечной степенная, удовлетворяющей неравенству (12). Это условие абсолютно идентично вышеприведенному.

Разложение (10) можно рассматривать как разложение заданной диаграммы направленности в виде бесконечной суммы элементарных, «парциальных» диаграмм JL" . каждая из которых создается линейной антенной, по которой течет ток с постоянной амплитудой и фазой, меняющейся по линейному закону. Следовательно, суммарный ток, создающий заданную диаграмму, будет представляться рядом (И).

Разложение (10) не единственное.

Действительно, если разложить R (г) в ряд по некоторым функциям Rn (z)

(2)= 2 <an(z) , (13)

- оо

которым соответствуют известные функции /„ (г/), то решение нашей задачи можно представить в виде ряда

- оо

(14)

в качестве парциальных диаграмм направленности /?„(z) могут быть взяты, вообще говоря, любые функции. Важно лишь, чтобы они принадлежали к классу реализуемых и позволяли легко находить коэффициенты С„. Эти коэффициенты желательно получить такими, чтобы обеспечить быструю сходимость ряда (14).

В литературе применялись различные функции /?„(z). Так, например, Л. Б. Тартаковский в [12] применил функции Бесселя /„(z).

При этом /„(г/) = 2/-":р, где Г„ (г/) - полиномы Чебы-

шева первого рода. Б. М. Минкович 113] предлагает следующую пару функций: (z) = и /„ (г/) = Г" Р„ (z), где J„+./. (z) - функция Бесселя полуцелого индекса, а P„(z) - полином Лежандра. В работе [11] рассматривался случай/?„ (z) = и о,- (п - 1)

и (у) = „п "-1 • Vi

где Un-i (у) - полиномы Чебышева второго рода и т. д. *

Совершенно другой метод решения задачи синтеза разработал А. А. Пистолькорс [14]. В литературе этот метод называют методом собственных функций.

Пистолькорс представил раскрыв антенны в виде отверстия шириною d бесконечной длины, прорезанное в безграничном экране. Раскрыв антенны он рассматривает как координатную поверхность в эллиптической системе координат. Разлагая заданную диаграмму направленности в ряд по функциям эллиптического цилиндра, т. е. по функциям Матье, образующим полную ортогональную систему функций и являющимся собственными функциями пространства в эллиптической системе координат, он находит затем значение этого ряда в начале координат, т. е. на самой щели, и тем самым находит поле в раскрыве.

Метод собственных функций представляет собою строгое решение электродинамической задачи для линейного излучателя; он наиболее адекватен поставленной задаче.

Л. Д. Бахрах [151 несколько дополнил и развил работу Пистолькорса. Он показал, что основные результаты работы Пистолькорса, можно также получить непосредственным решением уравнения (3). Тем самым он подтвердил строгость метода парциальных диаграмм и метода интеграла Фурье и идентичность получаемых во всех методах результатов.

Таким образом, мы убедились, что если заданная диаграмма направленности, в общем случае комплексная функция R (z) = /? ] (г) • •ехр [/9 (z)], удовлетворяет определенным требованиям, то, пользуясь тем или иным методом, можно найти поле в раскрыве антенны, которое точно ее воспроизведет. Это решение будет единствен-

* Следует заметить, что все три вышеприведенных случая являются частными случаями следующ пары функций [П]:

f niy) = /я ( - if Г (2v) (1 - уГ-ЧТ {V + V,) Г (2v + п) Gl (у) .

где Г (д;)-гамма-функция, в° (у) - полином Гегенбауэра. Прн w = О, 1/2,1 получаем соответственно все три приведенные выше случая.

ным, если одновременно заданы как амплитудная диаграмма \R(z)\, так и фазовая 6 (z). Если задана только одна из них, например \R{z) , то можно, меняя 9 (z), как это показано в [8, 11], получить различные распределения поля по раскрыву антенны соответственно заданным (z) и 6 (z). А если диаграмма направленности не удовлетворяет требованиям реализуемости? В инженерной прак-тикедиаграммы направленности почти всегда заданы в виде некоторой кривой или в виде функции, не удовлетворяющей этим требованиям. Поэтому вопрос синтеза таких антенн является весьма важным.

Поскольку такие диаграммы направленности воспроизвести точно вообще невозможно, то в этом случае можно говорить лишь о воспроизведении диаграммы направленности с той или иной степенью точности. Для приближенного расчета, как показано в работах [4, 7, 11, 14], можно пользоваться теми же методами интеграла Фурье, парциальных диаграмм и собственных функций. Так, например, вычисляя / (г/) по формуле (9) или по (11) или взяв конечное число членов в ряде по функциям Матье, мы обеспечим получение диаграммы направленности, приближающейся к заданной в среднем.

В работе [11] предлагается аппроксимировать диаграмму направленности функцией вида UJz)p„{z), которая удовлетворяет условиям реализуемости и может приблизиться к заданной диаграмме с любой степенью точности. Здесь р„ (z) - полином степени п, аппроксимирующий заданную диаграмму направленности, а Um{z) - функция, близкая к единице на интересующем нас участке изменения z и обеспечивающая удовлетворение требуемым условиям. Аналогичный метод рассмотрен также в работе [9]. Проведенные исследования и расчеты показали, что с помощью линейной антенны данной длины можно обеспечить любую заданную диаграм: му направленности с любой степенью точности. При этом с увеличением точности воспроизведения максимальные значения поля (или тока) в раскрыве антенны резко возрастают, а кривая распределения поля приобретает осциллирующий характер.

Следует заметить, что разработка методов решения задачи синтеза позволила решить давно поставленную задачу о так называемых «сверхнаправленных», или «малогабаритных», антеннах, т. е. антеннах, обладающих высокой направленностью при малых их геометрических размерах. Этой задаче посвящено большое количество статей как в отечественной [3, 7, 9, 11, 12, 14], так и в зарубежной литературе [16-19]. Действительно, перспектива получения узкой диаграммы с помощью антенны малых размеров является весьма заманчивой. Однако результаты исследований получились неутешительными: оказывается, теоретически сверхнаправленную антенну можно создать, но практическое ее осуществление по существу невозможно, так как распределение поля по раскрыву при этом имеет резко осциллирующий характер с весьма высокими

пиковыми значениями тока, в десятки, сотни тысяч раз превышающими пиковые значения в антеннах с обычной диаграммой направленности. Точность сохранения такого поля должна быть весьма высокой.

3. Линейная решетка излучателей

Решению задачи синтеза антенных решеток также посвящено большое число работ. Им уделяется еще и сейчас большое внимание, поскольку в этих антеннах значительно легче создать заданное распределение поля по раскрыву и обеспечить диаграмму направленности заданной формы, а также легче осуществить управление лучом антенны путем изменения фазы тока в каждом элементе решетки и т. д. Однако задача синтеза антенных решеток разработана еще недостаточно полно. Остановимся кратко на полученных здесь результатах.

Как мы указывали выше, диаграмма направленности, реально осуществимая с помощью линейной решетки, всегда может быть представлена в виде (4). В общем случае это непериодическая функция с дискрегным ограниченным спектром. Такие функции в литературе называют еще почти-периодическими функциями. Периодическими они будут только в том случае, если излучатели расположены на одинаковом расстоянии друг от друга, равном, например, d.

В последнем случае решетки называют эквидистантными в отличие от неэквидистантных, излучатели которых расположены на произвольном расстоянии друг от друга.

Исследование правой части выражения (4) (см. [11]) показывает, что она принадлежит к целым функциям конечной степени, ограниченным на вещественной оси. Эти функции также разлагаются в ряд типа (10)

- оо N

R{n)= S f(Sp)exp(/V)-р =1

Поэтому по аналогии с непрерывным линейным излучателем решение находят также в виде ряда Фурье

f(y)= S R{n)xv{-iny) .

- оо

В случае, если диаграмма направленности задана в виде кривой или некоторой функции, не удовлетворяющей условиям реализуемости, то для решения задачи синтеза ее необходимо сначала представить в виде суммы (4). Это можно выполнить разными путями.