амплитуда которого нарастает (а> 0), затухает (а < 0) или неизменна во времени (а = 0). Как видно из выражения (6.73), мнимую часть комплексной частоты s = а -f /ю можно рассматривать как угловую частоту некоторого гармонического колебания, а вещественную часть- как коэффициент, определяющий характер изменения огибающей этого колебания. Вследствие того что интегрирование и дифференциро- j ванне экспоненциальной функции не изменяют ее вида, реакция ли- . нейной цепи на экспоненциальное внешнее воздействие определенной комплексной частоты s является экспоненциальной функцией той же

частоты, причем отношение реакции цепи к внешнему воздействию в этом случае не зависит от времени.

Пусть напряжение, приложенное к зажимам идеализированного пассивного элемента изменяется во времени по закону

uUe-f . (6.74)

В этом случае ток сопротивления

iR = R-UR=Ue /R, (6.75)

ток емкости

и ток индуктивности

ic = CsCUe-! , (6.76)

dt - -

Входным сопротивлением Z (s) пассивного линейного двухполюсни--: ка при экспоненциальном внешнем воздействии называется отношение мгновенного значения напряжения на зажимах этого двухполюсника к мгновенному значению тока:

Z (S) = u/i. (6.78)

Используя выражения (6.74) - (6.78), найдем входные сопротивления идеализированных пассивных элементов при экспоненциальном внешнем воздействии

Zr{s)=R; Zc(s) = l/(sC); Zl{s) = sL. (6.79)

Полагая в выражениях (6.79) s = р, получаем рассмотренные ранее выражения для операторных входных сопротивлений идеализированных пассивных элементов, а полагая s = /со - выражения для комплексных входных сопротивлений тех же элементов при гармоническом внешнем воздействии. Таким образом, комплексные сопротивления идеализированных пассивных элементов при гармоническом внешнем воздействии численно равны входным сопротивлениям тех же элементов при экспоненциальном вненшем воздействии а (t) = Ле"", а операторные входные сопротивления рассматриваемых элементов -

входному сопротивлению этих элементов при экспоненциальном внешнем воздействии

а (О = ЛеР. (6.80)

Следовательно, оператор преобразования Лапласа р, входящий в выражения для операторных входных сопротивлений и проводимостей идеализированных пассивных элементов, можно рассматривать как обобщенную (комплексную) частоту экспоненциального воздействия вида (6.80).

Переходя от идеализированных пассивных элементов к участкам цепей, составленным из таких элементов, и, далее, к произвольным линейным цепям, убеждаемся, что отношение двух любых токов или напряжений этих цепей при экспоненциальном внешнем воздействии вида (6.80) численно равно отношению операторных изображений соответствующих токов или напряжений при нулевых начальных условиях.

Понятие об операторных характеристиках

Рассмотрим идеализированную линейную цепь, не содержащую независимых источников тока и напряжения, у которой выделены пара входных V - v и пара выходных k - k зажимов.

Операторной, или обобщенной, частотной характеристикой Я/tv (р) линейной цепи называется отношение операторного изображения реакции цепи у, у (t) к операторному изображению внешнего воздействия х - Ху, (i) при нулевых начальных условиях:

Hk (р) = Yk {р)/Х (р), (6.81)

где У и (Р) = У к {ty, Xv (р) ф (О-

Учитывая, что отношение двух любых токов и напряжений линейной цепи, находящейся под экспоненциальным воздействием, численно равно отношению операторных изображений соответствующих величин при нулевых начальных условиях, устанавливаем, что операторная характеристика линейной цепи численно равна отношению реакции цепи к внешнему воздействию при внешнем воздействии вида (6.80)

Hkv{p)=

Для перехода от операторной характеристики цепи к ее комплексной частотной характеристике Hkv (/«>) достаточно в выражении (6.81) заменить р на /со. Следовательно, комплексную частотную характеристику можно рассматривать как частный случай обобщенной частотной характеристики при Re (р) = а = О,

Подобно комплексной частотной характеристике, операторная характеристика линейной цепи не зависит от действующих в цепи токов и напряжений, а определяется только топологией цеци и параметрами входящих в нее элементов. В связи с тем что выражения для оператор-

ных сопротивлений и проводимостей идеализированных пассивных элементов (6.65), (6.68), (6.71) были получены безотносительно к виду внешнего воздействия, операторные характеристики описывают свой-ства линейных цепей при произвольных внешнихвоздействиях.

Как й комплексные частотные характеристики, операторные характеристики цепи делятся на входные и передаточные, причем каждой комплексной частотной характеристике соответствует операторная. В зависимости оттого, какая величина выступает в качестве внешнего воздействия на цепь, а какая рассматривается в качестве отклика цепи, различают:

операторное входное сопротивление

Zvv (Р) = (p) v {р)\ (6.82)

операторную входную проводимость

nv (Р) = /v (pVU ip); (6.83)

операторные коэффициенты передачи по напряжению

Kk. ip) = Uk {р)/Щ (р) (6.84)

и току

Gfev ip) = h ipViv (P); (6.85)

операторное передаточное сопротивление

Zftv (р) Uk (p) v (р) (6.86)

и операторную передаточную проводимость

Ykv (р) = h {р)1 (Р). (6.87)

Операторные коэффициенты передачи по напряжению и току являются безразмерными величинами, операторные входное и передаточное сопротивления имеют размерность сопротивления, а операторные входная и передаточная проводимости - размерность проводимости.

Определение операторных характеристик

Для определения операторной характеристики цепи с заданной комплексной частотной характеристикой достаточно в соответствующем аналитическом выражении заменить /м на р. В общем случае выражения для любых операторных характеристик сколь угодно сложной линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, могут быть получены из рассмотрения узловых или контурных уравнений цепи, составленных по ее операторной схеме замещения при нулевых начальных условиях.

Пусть необходимо найти операторные входное сопротивление и входную проводимость цепи со стороны зажимов v - v. Подключим к этим зажимам идеализированный источник напряжения (О и построим операторную схему замещения цепи при нулевых начальных условиях. Выбирая систему независимых контуров таким образом, чтобы