ветвь, содержащая источник Cv (t) = {р)> явилась главной ветвью v-ro контура, составим систему контурных уравнений цепи в операторной форме. Далее, используя формулы Крамера (4.14), найдем ток v-й ветви, совпадающий с током v-ro контура:

Д(р)

Здесь А (р) - определитель системы контурных уравнений, составленных в операторной форме; Aw (р) - алгебраическое дополнение элемента Zw (р)-

Используя выражение (6.88), находим операторное входное сопротивление Zw (р) и операторную входную проводимость цепи Kw (р) со стороны зажимов v - v:

Zw (р) = £v ip)/Iv (P) = A (p)/Aw (p); Kw (p) = bvv (p) = Aw {p)IA ip). Аналогичным образом можно найти и передаточные функции цепи. С этой целью, используя (4.14), определяем ток

/, (р) = Avft (р) £v (Р)/А (р) (6.89)

и напряжение

и„ (р) = Z, (р) /, (р) = Avft (р) Z, (р) Е, {р)1А (р) (6.90)

ветви, содержащей сопротивление Z (р) и являющейся главной ветвью k-ro контура. Далее, подставляя выражения (6.88), (6.89), (6.90) в (6.84) - (6.87), находим операторный коэффициент передачи цепи по напряжению

Kk. (Р) = Uk {р)/Е (р) = Avft (р) Z, {р)/А (р), операторный коэффициент передачи по току

Gkv ip)= h (p) v (p) = (p)/Avv (p), операторную передаточную проводимость

Vftv (P) = h {р)/Е (p) = Av* {p)/A (p) и операторное передаточное сопротивление

Zav (р) = и к {р)/1 (р) = Avft ip)Zk (p)/Avv (р)-В связи с тем что определитель А (р) и алгебраические дополнения Aw ip), Avft ip) представляют собой полиномы от собственных и взаимных операторных сопротивлений независимых контуров цепи, а сопротивления контуров являются рациональными функциями р с вещественными коэффициентами, любая операторная характеристика линейной электрической цепи Hkv ip), не содержащей независимых источников энергии, также является рациональной функцией р с вещественными коэффициентами, т. е. может быть представлена в виде отношения двух полиномов

(6.92)

Здесь Ui, bi - вещественные коэффициенты, значения которых опре деляются параметрами идеализированных пассивных элементов и управляемых источников.

Напомним, что значения аргумента poi, при которых N (р) = О, (j}) ф О, называются н у л я м и, а значения аргумента pi, при которых М (р) = О, /V(p) =5 О, - полюсами функции Нкм (р). Решая уравнения N (р) = 0; ЛТ (р) = О и разлагая полиномы (р) и М (р) на множители, выражение (6.91) можно преобразовать к виду

(Р-Рхг) iP-Pxi)- (Р-Рхт)

Здесь к - cinlbm - вещественное число, называемое масштабным коэффициентом.

Из выражения (6.92) следует, что нули и полюсы функции Hi (р) определяют значения этой функции с точностью до постоянного коэффициента /С. Зная расположение нулей и полюсов операторной характеристики цепи в плоскости комплексной частоты р, можно получить полную информацию о свойствах этой цепи, в частности с точностью до постоянного множителя найти реакцию цепи на заданное воздействие. Графическое изображение расположения нулей и полюсов функции в плоскости комплексной частоты р = а + /м называется диаграммой нулей и полюсов или полюсно -нулевой диаграммой функции. При прстроении полюсно-нулевых диаграмм мнимую и вещественную оси плоскости р обозначают соответственно /ш и а, нули изображают кружками, а полюсы - крестиками.

Пример 6.5. Для цепи, схема которой приведена на рис. 3.12, а, найдем операторное входное сопротивление 2цх (р) со стороны зажимов 1-/ и операторный коэффициент передачи по напряжению Knx(p) от зажимов 1-1 к зажимам 2-2 в режиме холостого хода на зажимах 2-2. Построим диаграммы нулей и полюсов функций Z„x (р) и Кцх (р).

, h(P) R h(P)

IO * \ I - -

i(P)

UzCP) о 2

Рис. 6.12. К примеру 6.5

Ранее были получены выраокения для комплексного входного сопротивления (3.12) и комплексного коэффициента передачи (3.16) данной цепи

2iix (М = R + jaL; (/О)) = iu>L/{R + /o)L).

Заменяя в этих выражениях /ш на р, находим операторное входное сопротивление Z,,x (р) и операторный коэффициент передачи цепи по напряжению:

2iix (p) = R + pL = L (p + R/L);

R + pL p+RJL

Можно убедиться, что аналогичные результаты получаются и при рассмотрении операторной схемы замещения цепи (рис. 6.12, а).

Полюсно-нулевые диаграммы функций ZxCp) м Кх (р) изображены на рис. 6.12, б,в соответственно. Функция Zx (Р) имеет один нуль p„j = - функция Кцх (р) ujaeem один нуль poi = О " один по.тс pi = - RiL.

• ••••

Пример 6.6. Найдем операторное входное сопротивление Zx (р) последовательного колебательного контура (см. рис. 3.21, а) в режиме холостого хода на выходе. Построим полюсно-нулевую диаграмму функции Zx (р).

Рис. 6.13. К примеру 6.6

Операторипр пгпдное сопротивление последовательного колебательного контура равно сумме операторных сопротивлений входящих в контур элементов

7 , ч п , . , , p+Rp/L+l/(LC) Zii.(p) = R+pL+-=L---.

Используя введенные ранее обозначения б R/(2L) и соц = 1/~\/Тс, запишем выражение для операторного входного сопротивления контура в виде

р+2бр + й)§ (Р-Рт) (Р-Рог)

Р P-Pxi

В зависимости от соотношения между величинами 6 « Wq операторное входное сопротивление моЖет иметь два различных вещественных нуля

P01.02=-S± V6-"S .

два одинаковых вещественных нуля

Ро1 = Pos = - S или два комплексно-сопряженных нуля

Р01, 02= ± /wcb-

Во всех случаях функция Zx (р) имеет один полюс pxi = O.f Диаграммы нулей и полюсов функции 2„х (р) для б > ш„, б = й)„ м б < «о изображены на рис. 6.13, а, б, в соответственно. Очевидно, что нули функции Zjix (р) являются полюсами функции Кцх (р), о полюсы (р) - нулями Кцх (р).

Из примеров 6.5 и 6.6 видно, что нули операторного входного сопротивления цепи (полюсы операторной входной проводимости) совпадают с корнями характеристического уравнения, определяющего характер свободных процессов в цепи. Этот результат имеет весьма общий характер и позволяет находить корни характеристического уравнения по выражению для входного сопротивления (входной проводимости) цепи, не прибегая к составлению дифференциального уравнения.