§ 6 5. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

Единичные функции и их свойства

Важное место в теории линейных цепей занимает исследование реакции этих цепей на идеализированные внешние воздействия, описываемые так называемыми единичными функциями.

Единичной ступенчатой функцией (функцией Хевисайда) называется функция

1(-/о) =

0 при t<.to;

1 при fto-

(6.93)

При to - О для единичной ступенчатой функции используют обо-.значение 1 (О (рнс. 6.14, б). График функции 1 {t- /„) имеет вид ступеньки или скачка, высота которого равна 1 (рис. 6.14, а). Скачок такого типа будем называть единичным. Функцию Хевисайда

Рис. 6.14. К определению единичной ступенчатой функции

1 {i - о) удобно использовать для аналитического представления различных внешних воздействий на цепь, значение которых скачкообразно изменяется в момент коммутации:

1 f{t) при />4.

(6.94)

где / {t) - ограниченная функция времени.

При подключении цепн к источнику постоянного тока или напряжения значение внешнего воздействия на цепь

О при /</о;

Л = const при />/о

(6.95)

где /ц - момент коммутации.

Внешнее воздействие такого вида называется неединичным скачком. Используя функцию Хевисайда, выражение (6.95) можно представить в виде

x{t) = X- \{t-t,).

Zg CjT

Рис. 6.15, Представление прямоугольного импульса в виде разности двух

неединичных скачков

Если при t = to цепь включается источник гармонического тока или напряжения

О при t<.ta\

x{t) =

XjnCos{ti)t + при />/о

то с использованием функции 1 (t - t„) внешнее воздействие на цепь можно представить в форме

x{t)== l(t~ иуХт cos + г)).

Если внешнее воздействие на цепь в момент времени t - i, скачкообразно изменяется от одного фиксированного значения до другого Хг, то

x{t) = Xj + (х,-хо-1 (/-g.

Внешнее воздействие на цепь, имеющее форму прямоугольного импульса высотой X и длительностью tn (рис. 6.15, а), можно представить в виде разности двух одинаковых скачков

xAt) = ХЛ{1-и)

ях. (/) = Х-1 {t-U-t„), сдвинутых во времени на „ (рис. 6.15, б, в):

X it) = X, (О - (О = X[\(t-to)-\{t-U-t)].

(6.96)

Рассмотрим прямоугольный импульс длительностью и высотой 1/А (рис. 6.16, а). Очевидно.что площадь этого импульса равна 1 и не зависит от А/. При уменьшении длительности импульса его высота возрастает, причем при Д-> О она стремится к бесконечности, но пло-

1/ЛЬ

а) 6)

Рис. 6.16. к определению б-функции

щадь остается равной 1. Импульс бесконечно малой длительности, бесконечно большой высоты, площадь которого равна 1 будем называть единичным импульсом. Функция, определяющая единичный импульс, обозначается 8 (t - to) и называется б-функцией или функцией Дирака. Итак,

б(/-д=( о "Ри=о; (6.97)

I с» при t = to,

причем

j б(/-gd/ = L (6.98)

- оо

При /о = о для б-функции используется обозначение S (/). При построении временнйх диаграмм функции 6 (t - и b{t) будем изображать в виде вертикальной стрелки со значком оо около острия (рис.6.16, б, б).

Для установления связи между 6-функцией и единичной ступенчатой функцией воспользуемся выражением (6.96). Полагая X = 1/Д/ и устремляя Д/ к нулю, получаем

б (/-д - lim 1(-)-1(-о-АО d

откуда

1(/-д= j 6(/-gd/. (6.100)

Таким образом, 6-функция представляет собой производную от единичной ступенчатой функции, а единичная ступенчатая функция - интеграл от 6-функции.

Строгое обоснование операций над единичными функциями, в том числе операции дифференцирования единичной ступенчатой функции, дано в теории обобщенных функций. Для качественного обоснования таких операций функции 1 (/ - /ц) и 6 (/ - t удобно рассматривать в качестве предельных значений некоторых более простых функций, для которых соответствующие операции являются определенными. Рассмотрим, например, функцию (i) (рис. 6.17, а), удовлетворяющую условиям

0 при /<д -(t-to) при t,tto + M;

1 при / 4 + t-