производная функция Xi (t) по времени (рис. 6.17, б) имеет вид прямоугольного импульса длительностью At и высотой 1/Д:

О при t<t,; l/At при t„t<to + At; О при fto + At.

При At-*-О функция Xl (t) вырождается в единичную ступенчатую функцию, а функция dxjdt-в 6-функцию:

\{t-ta) = \imxi{ty,

6( g==lim-. д<->.0 dt

откуда непосредственно следует, что

dt t

Ht-to)= J b(t-Qdf.

- OO

при выполнении различных операций над единичными функциями мшент коммутации to удобно расчленять на три различных момента: 4--момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации,

г It

dx,(t)/di

/3 4 -

о tg to+at i

Рис. 6.17. К определению связи между единичными функциями

г„ - сооственно момент коммутации и -момент времени, следующий непосредственно после коммутации. С учетом этого интеграл (6.98) можно заменить на

j &(f-Qdt\. (6.101)

В общем случае

,J 1 о при

Произведение произвольной ограниченной функции времени / {t)

на 6 g

I /W6(0) при J

(6.104)

О при to[tj ,t2]-

/(дб(0) при tt„ следовательно,

>(OS(/-M = /(/o)S(/-g. (6.103)

Из выражений (6.102) и (6.103) следует, что интеграл от произведения произвольной ограниченной функции / (t) на S (/- to) равен либо значению этой функции при t = to (если точка to принадлежит интервалу интегрирования), либо нулю (если to не принадлежит интервалу интегрирования):

•J/{/)б(/-дл=/(д J 6(/-gd/ = l о) "Р t.ihk];

Таким образом, с помощью б-функции можно выделять значения функции f {t) в произвольные моменты времени t. Эту особенность б-функции обычно называют фильтрующим свойством.

Для определения реакции линейных электрических цепей на внешнее воздействие в виде единичного скачка или единичного импульса необходимо найти изображения единичных функций по Лапласу, Используя рассмотренные свойства единичных функций, получаем

оо оо

L[l(/-= 5 1 (/-/0)6-"/= 5 е-рЛ = е-р./р; о и

L[6(/-д]=5 6(/-ge-pd/ = e-«.. (6.105)

При /ц= О операторные изображения единичных функций имеют простой вид:

1(0=1 ?; б (/)=:!. (6.106)

Переходная и импульсная характеристики линейных цепей

Рассмотрим линейную электрическую цепь, не содержащую независимых источников тока и напряжения. Пусть внешнее воздействие на цепь представляет собой неединичный скачок х (/) х (t) - X X X 1(/- /о), а реакция цепи на это воздействие при нулевых начальных условиях у (t) = у (/).

Переходной характеристикой (t - /«) линейной цепи, ие содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие неединичного скачка тока или напряжения к высоте этого скачка при нулевых начальных условиях:

hUt- ta) -- у Ц)/Х. (6.107)

Из выражения (6.107) видно, что Н!- (t - = [t), если Х =1, следовательно, переходная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка пюка или напряжения. Размерность переходной характеристики равна отношению размерности отклика к размерности внешнего воздействия, поэтому переходная характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимости или быть безразмерной величиной.

Пусть внешнее воздействие на цепь имеет форму бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади S(,:

x{f) = х {t) = Sbb{t-to).

Реакцию цепи на это воздействие при нулевых начальных условиях обозначим у (t) = у (t).

Импульсной характеристикой [t- линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади к площади этого импульса при нулевых начальных условиях:

hUt-to) = y{t)/S6. (6.108)

Как следует из выражения (6.108), импульсная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного импульса (5б = 1), а размерность импульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произведению размерности внешнего воздействия на время.

Подобно комплексной частотной и операторной характеристикам цепи, переходная и импульсная характеристики устанавливают связь между внешним воздействием на цепь и ее реакцией, однако в отличие от первых характеристик аргументом последних является время t, а не угловая w или комплексная р частота. Так как характеристики цепи, аргументом которых является время , называются временными, а аргументом которых является частота (в том числе и комплексная) - частотными характеристиками, то переходная и импульсная характеристики относятся к временным характеристикам цепи.

Каждой операторной характеристике цепи (р) можно поставить в соответствие переходную hly, (t - tg) и импульсную hkv (t - - tf,) характеристики. Для установления связи между ними найдем операторные изображения переходной и импульсной характеристик. Используя выражения (6.107), (6.108), запишем {t-to)= У- {р)/Х; Аб (i - U) = Уб (p)/Se.

Здесь (р) = у (t); К* (р) = у* (t) - операторные изображения реакции цепи на внешние воздействия х (t) и х (t) соответственно. Выражая Y (р) и Y (р) через операторные изображения внешних воздействий (р) = Хе-"» /р = х (0; Х» (р) = 5б е-"" х (t), получаем

/ (t -Q = H ip) XI (p)IX = Я (p) е-рЧр; hUt-to) = II (P)X« (p)/Sb - я (p) e- (6.109)