• ••••

Пример 6.9. Найдем напряжение на зажимах 2-2 цепи, схема которой приведена на рис. 3.12, а, если напрюкение на зажимах 1-Г этой цепи изме-

няется во времени по закону «1 (О =

О при < < 0; О при /

° при 0<t< t; Щ

Переходная характеристика данной цепи в рассматриваемом включении была определена в примере 6.7:

При t < О напряжение на зажимах 2-2 тождественно равно нулю. При 0< t< ti

«г (0 = «1 (0) Л1 (О +j "rff dтUt- + о

J * a-{-R/L

При t > 1

«2(0 =«1 (0) Л (0 +

(т) dx

kl (t-T) dx-ui Й1 (/-fi) = i/e-«/ +

(Уае-«

+ «+;?/L [e<«+> -l]-(; e«> e-« (->)/ = =---r, e(a+«/i,) /.I

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее импульсной характеристике T/J, 9

Пусть внешнее воздействие на линейную электрическую цепь, импульсная характеристика (t - Q которой известна, описывается произвольной функцией х = х (t), равной нулю при t <. tg к непрерывной при всех t, за исключением точки i = t(„ где функция х (t) может иметь конечный разрыв (рис. 6.21). Функция х (/) может быть приближенно представлена в виде суммы импульсов л; {t) длительностью Дт, Сдвинутых один относительно другого на Дт:

x{t)IixAt).

(6.116)

Рассматривая элементарный импульс д: {t) (на рис. 6.21 заштрихован) как разность двух неединичных скачков х (т). сдвинутых по времени на Ат, выражение (6.116) можно представить в форме

x(t).

Рис. 6.21. Представление произвольного внешнего воздействия в виде суммы импульсов

Tj-1(-Tft-AT)] = (6.117)

-i(t-Xk-hx)

где S = X (т) At - площадь элементарного импульса х (t). Точность представления внешнего воздействия на цепь с помощью выражения (6.117) возрастает с уменьшением шага разбиения по времени Ат.

Учитывая, что

lim (-.)-(-г.-Дт) g Дт-».о Ат

внешнее воздействие на цепь при достаточно малом шаге разбиения по времени можно представить в виде линейной комбинации единичных импульсов

x(0«25ft6(/-T,).

(6.118)

В соответствии с определением импульсной характеристики (6.108) реакция цепи у. (t) на воздействие одиночного импульса х, = X y8{t - Tft) равна произведению площади импульса на импульсную характеристику цепи (t - т):

y,{t) = S,h6 (t-x,).

Следовательно, реакция цепи на воздействие вида (6.118) равна сумме произведений площадей импульсов на соответствующие импульсные характеристики Л*(-т,,):

y{t)Ii S, (t-Ч) = х (т,) /1» (-т,) Ат.

Устремляя Ат к нулю и переходя от суммирования к интегрированию, получаем окончательно

у (О -= j X (т) (t -т) dr. (6.119)

Выражение (6.119) представляет собой одну из форм записи интеграла Дюамеля и его можно получить непосредственно из (6.115), используя правило интегрирования по частям и учитывая соотношения между переходной и импульсной характеристиками цепи (6.112). Выражение (6.119) можно использовать для определения реакции це-

пи и в том случае, когда внешнее воздействие на цепь описывается (.очно-непрерывной функцией, при этом интервал интегрирования разбивается на несколько промежутков в соответствии с интервалами непрерывности функции л: (О- -7 г л - ,

• ••••

Пример 6.10. Зная импульсную характеристику цепи (t- t), найдем реакцию цепи на внешнее воздействие, описанное в примере 6.8.

Разбиваем ось времени на четыре промежутка в соответствии с интервалами непрерывности функции х = х (t) и, используя выражение (6.119), определяем реакцию цепи на заданное воздействие на каждом из промежутков:

У(0 =

Xl (т) Л* (t-x) dx

при / < 0; При о < t<cti;

(т) Л» (-т) dx+ \ Xi (т) Л» (-т) dx при 1 < f < t; о и

f х,(х) (t-x) dx+f xix) (t-x) dx при t > t. У 0 ft

Пример 6.11. Используя данные примеров 6.7 и 6.9, найдем реакцию цепи на заданное внешнее воздействие по ее импульсной характеристике

Л» (i) = 6 (t)-Re-*/L.

Разбиваем ось времени на три интервала в соответствии с интервалами непрерывности функции X = X (t). При t <. О напряжение на зажимах 2-2 тождественно равно нулю.

На участке ]0, ti функция>щ (/) не имеет разрывов, поэтому напряжение на зажимах 2-2 находится непосредственно с помош,ью выражения (6.119):

и, (0 = / U, (T)ft» (-т) dx==u] е«

"еб (t-x) т-у(;ё-«/ Je(«+«/>dT.

Поскольку

е« 6 (t-x) rfT = e«, а г е«+Я/) d т=-\~- [ е<«+«/)\\,

""о, выполняя преобразования, получаем выражение для напряжения на зажимах -2 при О < t< ti.

и, (0 =

а е --