Таблица 7.1. Компонентные уравнения ветвей электрических цепей

воздействия на цепь и независимые начальные условия. Уравнениям (7.1), (7.2) можно поставить в соответствие обобщенные ветви, схемы замещения которых приведены на рис. 7.2. При гармоническом внешнем воздействии компонентные уравнения ветвей сохраняют ту же структуру, но мгновенные значения токов и напряжений заменяются их комплексными изображениями, оператор s - на/со, независимые начальные условия полагают равными нулю.

Если компонентные уравнения всех ветвей цепи представлены в одной и той же форме (Z или У), то их можно объединить в одно матричное компонентное уравнение цепи соответственно либо в форме Z:

либо в форме У

U = Uv + Z {i - iv), i=i,-f Y{u-u,}.

(7.3) (7.4)

Здесь Z, Y - квадратные матрицы, называемые матрицами сопротивлений и проводимостей цепи; i, и - векторы (матрицы-столбцы) мгновенных значений токов и напряжений ветвей; iv, Uv, ig, - задающие векторы, характеризующие внешние воздействия на цепь и независимые начальные условия.

Пример 7.1. Сформируем компонентные матрицы цепи, схема которой приведена на рис. 7.3, а. Граф, соответствующий принятому в этой главе топологическому описанию цепи, изображен на рис. 7.3, б.

(4) О) 5 (2) 6 (3) 7 W

Рис. 7.3. К примеру 7.1

Используя табл. 7.1, запишем компонентные уравнения всех ветвей в форме

(1=0+ (Ul + e) ?i; lb = (5 (0) + («6 - 0)/(sLi); (J = О + («2 - 0) ?2; (6 = 0 + sC («e - 0); fs = 0 + (Us - 0)/;?з; h = «7 (0) + («7 - 0)/(sL2).

и = / + («4 - 0) ?4:

Объединяя компонентные уравнения всех ветвей в одно, получаем матричное компонентное уравнение цепи в форме Y:

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (7.4), находим компонентные матрицы:

Записывая компонентные уравнения всех ветвей той же цепи в форме Z и приводя их к виду (7.3), получаем компонентные матрицы:

Таким образом установлено, что зависимости между токами и напряжениями всех врщвей электрической цепи могут быть представлены в виде одного матричного компонентного уравнения в форме (7.3) или (7,4); причем вся информация о характере ветвей и параметрах входящих в них элементов заключается в компонентных матрицах Z, Uv, iv или \, Ug, ig соответственно.

Алгоритмы формирования компонентных и топологических матриц цепи с помощью ЭВМ рассмотрены в [4, 51.

Необходимо отметить, что введенные компонентные и топологические матрицы цепи относятся к так называемым разреженным матрицам, содержащим большое число нулевых элементов. Хранение таких матриц в памяти ЭВМ в виде двухмерных массивов неэкономично (значительная часть памяти будет занята хранением нулевых коэффициентов). Как правило, программы анализа цепей организуют таким образом, чтобы в памяти ЭВМ хранилась информация только о ненулевых элементах матриц. Данные о координатах и значениях ненулевых элементов компонентных и топологических матриц представляют в виде совокупности одномерных массивов, называемых списками. Дополнительно объем памяти ЭВМ можно сэкономить за счет того, что ненулевые элементы топологических матриц могут принимать значения только или -1.

В связи с тем что элементы компонентных и топологических матриц численно равны коэффициентам компонентных (7.3) или (7.4) и топологических (1.46), (1.52) уравнений, запись в память ЭВМ элементов этих матриц можно рассматривать как занесение в память ЭВМ коэффициентов основной системы уравнений электрического равновесия цепи, а формирование компонентных и топологических матриц равносильно, следовательно, формированию основной системы уравнений электрического равновесия цепи в матричной форме.

При использовании принятого в этой главе топологического описания основная система уравнений электрического равновесия цепи, содержащей р ветвей, включает в себя 2р уравнений. Количество уравнений электрического равновесия может быть уменьшено за счет исключения из основной системы уравнений зависимых токов и напряжений с помощью методов узловых напряжений и контурных токов.