Методы узловых напряжений и контурных токов

Известно, что метод узловых напряжений основан на том, что напряжения всех ветвей произвольной электрической цепи могут быть выражены через ее узловые напряжения, в матричной форме зависимость напряженнй ветвей от узловых напряжений определяется соотношением, получившим название узлового преобразования:

U = AU(o- (7.5)

Здесь А - транспонированная матрица узлов; и, uo - матрицы-столбцы мгновенных значений напряжений ветвей и узловых напря-жени11 соответственно

Пример 7.2. Убедимся в справедливости соотношения (7.5) на примере цепи, схема которой приведена на рис. 7.3, а. Матрица узлов этой цепи, соответствующая ее графу, изображенному на рис 7.3, б, имеет вид

в выражение (7.5), получаем

«1в

«20 •40.

«20

"зо

-«40 «10-«20 «20-«30 -"ЭО-«40

Аналогичное соотношение может быть получено непосредственно из рассмотрения схемы цепи (рис 7.3, а).

Для формирования системы узловых уравнений воспользуемся компонентным уравнением цепи в форме Y. Умножая матрицу узлов на каждое из слагаемых, входящих в выражение (7.4), получаем

Ai - AL + AYu - AYu

Левая часть этого уравнения представляет собой матричную запись уравнения баланса токов (1.46), поэтому

Aig + AYu - AVUg = 0.

Выражая напряжения ветвей через узловые напряжения (7.5) и выполняя преобразования, получаем систему узловых уравнений цепи в матричной форме

А\\%о = А {YUg - \g}

(7.6)

(7.7)

Из выражений (7.6), (7.7) видно, что матрица узловых проводимостей исследуемой цепи и матрица-столбец узловых токов

Y(,,) = AYA и j,„ = А {Yug - i}

(7.8)

могут быть получены с помощью простых алгебраических операций над матрицей узлов А и компонентными матрицами Y, Ug, ig. Поскольку компонентные и топологические матрицы цепи содержат значительное количество нулевых элементов, при формировании матрицы узловых проводимостей Y(;;-) и матрицы-столбца узловых токов jto используют специальные алгоритмы, учитывающие разреженность матриц А, Y, Ug, L и исключающие тривиальные операции над нулевыми элементами. Можно убедиться, что система узловых уравнений цепи для мгновенных значений (7.7) и система узловых уравнений той же цепи для комплексных действующих значений {4.22) имеет одинаковую структуру и могут быть получены одна из другой с помощью таких же преобразований, которые необходимы для взаимного преобразования компонентных уравнений для мгновенных значений и компонентных уравнений для комплексных действующих значений.

Пример 7.3. Используя выражения (7.8), сформируем матрицу узловы.х проводимостей и матрицу-сто.гбец узловых токов цепи, схема которой приведена на рис. 7.3, а.

Матрица узлов А н компонентные матрицы цепи Y. Ug, \g были получены в примерах 7.1 и 7.2. Подставляя эти матрицы в (7.8), находим

Г-1 О о

о 1 о о о 1

о 1 о он

0-1 10 о 0-1-1

0 0 0-1 о о 1

Ri- 0 0 0 0 0 0

о Ri ООО 00

о о о о 0 0

ООО о 00

0 0 0 0 (sLi)-iO о

0 0 0 0 0 sCO

0 о о о о о

J 1

0; 0;

1 1 N

-sC;

0; -sC;

0; 0;

-10 0 0 0 10 0 0 0 1 0 0 0 0 -1

1 0

-1 1

0 -1 0 0

-1 0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 0

0 0 0 -1

1 0 0--1 1 0 0 -1 -1 0 0 I

-e!RC

0 - /

-5(0) 0

--h (0).

eIRi-ib (0)

/6(0)

i, (0) . /-/7(0) J