Нетрудно убедиться, что аналогичные выражения могут быть получены и с применением рассмотренного в гл. 4 алгоритма, используемого в ручных методах формирования уравнений электрического равновесия.

Сформировать уравнения электрического равновесия цепи с применением ЭВМ можно и методом контурных токов. Используя компонентное уравнение цепи в форме Z и учитывая, что токи всех ветвей цепи могут быть выражены через токи главных ветвей с помощью соотношения i = В ij, называемого контурным преобразованием, нетрудно прийти к системе контурных уравнений цепи в матричной форме

Здесь \ц - матрица-столбец контурных токов; 2(ц) = BZB - матрица контурных сопротивлений; е,; = В {Z5v - Uv} - матрица-столбец контурных э. д. с, в и В - матрица главных контуров и транспонированная матрица главных контуров рассматриваемой цепи.

В связи с тем что компонентные матрицы Z и Y содержат в общем случае операторы дифференцирования s и интегрирования s-, узловые и контурные уравнения цепи для мгновенных значений наряду с производными содержат интегралы от неизвестных функций времени.

Метод переменных состояния

Наличие интегралов в уравнениях электрического равновесия цепи, составленных методами узловых напряжений и контурных токов, значительно затрудняет решение этих уравнений и в течение длительного времени ограничивало возможности применения данных методов при машинном анализе цепей. Интегралы, входящие в уравнения электрического равновесия, могут быть устранены путем дифференцирования, однако при этом повышается порядок соответс гвую-щих уравнений, что также является нежелательным. Поэтому представляет интерес попытка составить уравнения электрического равновесия таким образом, чтобы они вообще не содержали интегралов. Интегралы в уравнениях электрического равновесия возникаю! только тогда, когда напряжение емкости выражают через ток

«с-«с(0)+- Jic* о

или ток индуктивности через напряжение

Если в качестве независимых переменных выбрать не контурные токи или узловые напряжения, а напряжения емкостей и токи индуктивностей, то уравнения электрического равновесия цепи не будут

содержать интегралов от неизвестных функций времени. Такие уравнения называются уравнениями состояния цепи, а независимые переменные (токи индуктивностей и напряжения емкостей) - переменными состояния. Такое название отражает тот факт, что именно токи индуктивностей и напряжения емкостей определяют запасы энергии в реактивных элементах и, следовательно, характеризуют энергетическое состояние цепи.

Рассмотрим методику формирования уравнений состояния на примере простейшей последовательной RLC-тпи (см. рис. 2.20, а), основная система уравнений электрического равновесия которой имеет вид

UR + UL + uc = e; ic = C

iR = iL = ic = ie\ ul-L-

Ur = RlR-,

d4 dt

(7.9)

Выбирая в качестве независимых переменных (переменных состояния) напряжение емкости и ток индуктивности, выразим остальные переменные, входящие в эти уравнения, через Uc и ij,:

di, dur.

(7.10)

Получена система уравнений электрического равновесия, в которых в качестве неизвестных фигурируют напряжение емкости и ток индуктивности. Разрешим уравнения (7.10) относительно производных: dijdt = - RiJL - Uc/L + e/L; ducldt = iJC и представим полученную систему уравнений в матричной форме

jR . !

L I

-L: 0

dK/dt -= aX + du,.

Здесь X

L"cJ

Top внешних воздействий; a =

вектор переменных состояния;

-m;-l/L 1/С; О

IIL-0 0; О

(7.11)

- век-

- мат-

рицы, элементы которых определяются параметрами пассивных элементов цепи.

Выражение (7.11) является стандартной формой записи уравнений состояния цепи, не содержащей зависимых источников энергии. Очевидно, что число независимых уравнений, составляемых по методу переменных состояния, будет равно числу независимо включенных реактивных элементов, т. е. порядку сложности цепи. Если исследуемая цепь содержит топологические вырождения, к которым относятся емкостные контуры и индуктивные сечения, то система уравнений электрического равновесия цепи наряду с дифференциальными уравнениями (7.11) будет содержать алгебраические уравнения, составленные на основании второго или первого законов Кирхгофа и отражающие связь между напряжениями емкостей или токами индуктивностей, входящих в соответствующие контуры или сечения.

Матрицы а, d, входящие в состав уравнений состояния цепи, могут быть выражены через компонентные и топологические матрицы рассматриваемой цепи [4, 5, 81.

§ 7.3. ВЫБОР МЕТОДОВ ФОРМИРОВАНИЯ И РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ ЦЕПИ

Численные методы решения уравнений электрического равновесия

При решении отдельных частных задач теории цепей, таких, как исследование цепей нулевого порядка или анализ установившегося режима постоянного тока в линейных или нелинейных цепях, процессы в электрической цепи можно описывать системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений. Уравнения же электрического равновесия произвольной идеализированной цепи с сосредоточенными параметрами представляют собой систему интегро-дифференциаль-ных уравнений. Интегрирование таких уравнений в современных программах анализа цепей осуществляется, как правило, численными методами, основанными на замене рассматриваемого непрерывного интервала времени последовательностью точек t, i, tn, ... на временной оси. Искомая реакция цепи у = у (t) в этом случае приближенно представляется множеством дискретных значений Уо = у (to), У л = = у {t-i), г/„ = у {tn), ... определяемых в результате последовательного выполнения ряда шагов интегрирования.

Известные методы численного интегрирования принято разделять на явные и неявные. При использовании явных методов для получения уп (решения системы уравнений на п шаге интегрирования) используют результаты, полученные на т предыдущих шагах;

Уп = Р (Уп-и Уп-2. Уп-т)- (7.12)

в неявных методах для получения решения уп на каждом шаге интегрирования необходимо решать уравнение

F (Уп, Уп-1, Уп-2, -, Уп-т) = о, (7.13)