Понятие физической реализуемости имеет смысл только тогда, ког, да оговорено, из каких типов идеализированных элементов может со, стоять синтезируемая цепь. Набор допустимых типов элементов ig. зывается элементным базисом цепи. Одна и та же част> щ пая или временная характеристика цепи может оказаться физичс \i нереализуемой в одном элементном базисе и физически реализуемой в другом. В зависимости от заданного элементного базиса различ; г,-задачи синтеза реактивных (составленных только из индукт в ностей и емкостей), безындуктивных (составленных тол: из сопротивления и емкостей), безъемкостных цепей (составлен! w только из сопротивлений и индуктивностей), пассивных общъго вида и активных цепей.

Цепь можно синтезировать как по входным, так и по передаточным характеристикам, заданным относительно различных пар внешних зажимов. Если синтез производится по входным характеристикам, заданным относительно какой-либо одной пары зажимов, то искомая цепь может быть представлена в виде двухполюсника. Если синтез производится по входным и передаточным характеристикам, заданным относительно двух пар внешних выводов, то синтезируемая цепь представляется в виде проходного четырехполюсника. При большем числе пар выводов, относительно которых задаются характеристики цепи, цепь представляется в виде многополюсника.

Физически реализуемые характеристики цепи удовлетворяют определенным условиям, называемым критериями физической реализуемости. Формулировка этих критериев зависит от элементного базиса цепи и оттого, является заданная характеристика входной или передаточной, частотной или временной. Разработка критериев физической реализуемости представляет собой одну из важнейших задач синтеза цепей.

Основные этапы синтеза цепей

Основными этапами синтеза электрической цепи являются проверка физической реализуемости заданных характеристик и непосредственно реализация цепи, т. е. определение эквивалентной схемы цепи и параметров входящих в нее элементов. Переход от эквивалентной схемы к принципиальной электрической схеме, соответствующий переходу от идеализированной электрической цепи к реальной, составляет задачу технической реализации, которая выходит за рамки теории цепей.

В связи с тем что решение задачи синтеза, как правило, не является единственным, процесс синтеза обычно совмещают с процессом оптимизации цепей по какому-либо критерию. Такими критериями могут быть минимальное общее число элементов реализуемой цепи; минимальное число элементов какого-либо определенного типа, например индуктивностей; минимальное значение параметров каких-либо элементов и др.

Если частотные или временные характеристики цепи задают не в аналитической форме, то они должны быть аппроксимированы ана-

.птпческими выражениями, удовлетворяющими критериям физической \ализуемости. В дальнейшем будем считать, что аналитические вы-}кения для характеристик элементов известны. Синтез электрических цепей - один из наиболее сложных, практически важных и интенсивно развивающихся разделов теории цепей. Значительный вклад в создание современных методов синтеза цепей внесли советские ученые М. М. Айзинов, А. Д. Артыл!, А. Ф. Белецкий, П. А. Ионкин, Н.С. Кочанов, А. А. Ланне, П. Н. Матханов

и ДР-

§ 9.2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И КРИТЕРИИ ФИЗИЧЕСКОЙ РЕАЛИЗУЕМОСТИ ОПЕРАТОРНЫХ ВХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНЫХ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ

Понятия о положительных вещественных функциях

Ранее (см. гл. 6) было установлено, что любые операторные характеристики линейных электрических цепей, не содержащих независимых источников энергии, в том числе операторные входные характеристики линейных пассивных цепей, могут быть представлены в виде отношения двух полиномов с вещественными коэффициентами. Возникает вопрос, всякая ли рациональная функция Н (р) с вещественными коэффициентами физически реализуема в качестве операторной входной характеристики линейной пассивной цепи, или, другими словами, всякой ли функции Я (р), представляющей собой отношение двух полиномов с вещественными коэффициентами

Н{р) =JiJ£L - gnP"+an-iP"~ + - •+aiP+ao

М(Р) bmP"+b.ip"- + ...+biP+bo

можно поставить в соответствие линейный пассивный двухполюсник, составленный из элементов с положительными вещественными параметрами, операторное входное сопротивление или операторная входная проводимость которого равны Н (р). Строгое рассмотрение этого вопроса показывает, что необходимое и достаточное условие физической реализуемости рациональной функции Н (р) в канестве операторной входной функции линейной пассивной цепи заключается в том, чтобы Н{р) являлась положительной вещетвенной функцией комплексной частоты р.

Положительной вещественной функцией Комплексного переменного р называется функция Н{р), действительная часть которой неотрицательная при неотрицательных значениях Действительной части р:

Ре [Н (р)] > О при Re {р) > 0; (9.1)

а мнимая часть равна нулю при .мнимой части р, равной нулю:

Im [Я {р)\ = О при Im {р) = 0. (9.2)

4 Зак. 565 417

Непосредственно по выражениям (9.1), (9.2) определить, являете ли заданная рациональная функция Н (р) положительной веществен ной функцией комплексной частоты р, трудно, поэтому обычно пров ряют выполнение следующих условий, которые полностью вытекают из этих выражений:

1) все коэффициенты и bi полиномов N (р) и М (р) должны быть вещественны и неотрицательны;

2) наибольшие и соответственно наименьшие степени полиномов N (р) н М (р) не могут отличаться более чем на единицу (любой пассивный двухполюсник при р О и при р оо ведет себя либо как емкость Zc ip) = kp-, либо как индуктивность Zj. (р) = kp, либо как сопротивление kp");

3) нули Рог " полюсы pг функции Н (р) не могут располагаться правой полуплоскости: Re (pot) < О, Re (уэг) < О (в противном слу чае в цепи не будут выполняться условия затухания свободных прс-цессов);

4) нули и полюсы функции Н (р), расположенные на мнимой оси должны быть только простыми (некратными), причем производные функции Н (р) в нулях и вычеты в полюсах должны быть вещественны и положительны. Если бы среди нулей или полюсов функции Н (р) имелся хотя бы один корень р = с кратностью v, то этому корню соответствовала бы нарастающая во времени свободная составляющая решения = (Ai + At--... +AytУ-) cos w;

5) вещественная часть функции Н (р) должна быть неотрицательна на мнимой оси: Re [Н (р)] > О при Re (р) = О (при гармоническом воздействии (р = /ю) вещественная часть комплексных входного сопротивления или входной проводимости линейной пассивной цепи не может быть отрицательной).

Перечисленные условия являются необходимыми и достаточными для того, чтобы заданная рациональная функция комплексного переменного Н (р) являлась положительной вещественной функцией р, и поэтому могут рассматриваться как критерии физической реализуемости этой функции в качестве операторной входной характеристики линейной пассивной цепи. Следует отметить, что не все приведенные условия являются независимыми, в частности условия 1 и 2 вытекают из условий 3 и 4. Такая избыточность является вполне оправданной, так как позволяет в ряде случаев определять физически нереализуемую функцию непосредственно по ее виду, без трудоемких операции, связанных с нахождением корней полиномов N (р) а М (р).

Пример 9.1. Определим, являются ли функции Hi (р) = (Зр 2)/(Зр + + р -f 1), НАр) + р V 2) п Нз (г) =- Зр2/(р + р -4- 2) положительными вещественными функциями комплексного переменного.

Непосредственно по виду функций устанавливаем, что функция Hi(p) не удовлетворяет условию 1 (коэффициент < 0), а функции Н (р) " Н не удовлетворяют условию 2 (разность наивысших степеней числителя и знаменателя функции Н2 (р) и разность наименьших степеней числителя и знаменателя функции И з(р) превышают единицу). Следовательно, заданные функции не являются положительными вещественными функциялш р.