в теории графов доказывается, что все строки сокращенной матрицы узлов линейно независимы. Зная сокращенную матрицу узлов, соответствующую некоторому графу, всегда можно найти его полную матрицу узлов, для чего необходимо дополнить А одной строкой так, чтобы сумма всех строк матрицы А равнялась нулю,

В связи с тем что каждая строка матриц Ас и А несет информацию о том, какие ветви и с какой ориентацией подключены к определенному узлу цепи, эти матрицы можно использовать для записи уравнений по первому закону Кирхгофа, Действительно, умножая полную матрицу узлов Ас на матрицу-столбец токов ветвей i, получаем

А, X i =

«18-

aqp J L tp J

ai h-\-aq.iH + ...+ agj,ip

Каждая строка этого выражения есть алгебраическая сумма токов ветвей, подключенных к соответствующему узлу цепи, причем если ветвь направлена от узла, то соответствующий ток имеет знак плюс (ац +1), если ветвь направлена к узлу, то знак минус (aij - -1). Если же ветвь не инцидентна рассматриваемому узлу, то соответствующее слагаемое равно нулю {ац 0), Тогда в соответствии с первым законом Кирхгофа окончательно имеем

Ас X 1 =- О,

(1,45)

В связи с тем что строки полной матрицы узлов являются линейно зависимыми, система уравнений (1.45) также будет линейно зависимой.

Для получения системы линейно независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, можно воспользоваться сокращенной матрицей инциденций, строки которой являются линейно независимыми:

А X 1,=- 0. (1,46)

Таким образом, для любой цепи можно составить т = q - I линейно независимых уравнений баланса токов, и, следовательно, любые т узлов графа представляют собой систему независимых узлов.

пример 1.4. Составим систему линейно независимых уравнений баланса т.о-ков для цепи, граф которой иэобраокен на рас. 1.26. Подставляя в (1.46) сокращенную матрицу узлов этой цепи (1.44), находим

А X i =

-1-1 1 1 0 0 О О 0-1-1 10-1 О О О 0-11 1

.«7.

-I -аП-*з-

-«5+ , + /7

(i-47) 47

Как и следовало ожидать, система уравнений {1.47) совпадает с системой уравнений (1.38), составленной на основании первого закона Кирхгофа для 1,2 и 3-го узлов рассматриваемой цепи.

Для матричной записи уравнений баланса токов в обобщенных узлах цепи и уравнений баланса напряжений используют матрицу главных сечений и матрицу главных контуров.

Матрица главных сечений Q (матрица сечений) представляет собой таблицу, число столбцов которой равно числу ветвей графа р, а число строк - числу главных сечений

т = q - 1

(номера столбцов совпадают с номерами ветвей, а номера строк с номерами главных сечений, т. е. с номерами соответствующих ветвей дерева).

Каждая строка матрицы главных сечений характеризует состав ветвей графа, входящих в данное сечение. Элементы /-й строки qij принимают значение -fl, если /-я ветвь графа входит в состав г-го сечения, причем ее ориентация совпадает с ориентацией сечения, т. е. с ориентацией соответствующей ветви дерева относительно линии сечения; = -1, если /-я ветвь входит в t-e сечение, а ее ориентация противоположна ориентации сечения; qij == О, если /-я ветвь не входит в г-е сечение.

Матрица главных сечений, соответствующая графу, приведенному на рис. 1.34, а, имеет следующий вид:

1 2 3 4 5 6 7 номера ветвей

1 10 0-10 0 0 1 1-10

0 0 0 0-11 1

Q= 3 6 t

номера главных сечений

(1.48).

Используя матрицу главных сечений, можно в компактной форме записать систему из т = q - 1 уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа для главных сечений графа, соответствующих выбранному дереву:

Q X i = О,

(1.49)

где i - вектор токов ветвей.

Уравнения (1.49) являются линейно независимыми, так как каждое из них отличается от остальных, по крайней мере, одним током - током ветви дерева, входящей в данное главное сечение.

Подставляя (1.48) в (1.49), получим систему линейно независимых уравнений баланса токов для главных сечений графа (рис. 1.34, а).

(1.50)

Если какое-либо из главных сечений графа является каноническим, то уравнение баланса токов для этого сечения с точностью до знака совпадает с уравнением баланса токов для соответствующего изолированного узла. Так, в системе уравнений (1.50) второе и третье уравнения, составленные для канонических сечений 5 и 6, совпадают со вторым и третьим уравнениями в системе уравнений (147), составленными соответственно для узлов 2 и 5 той же цепи. Если все главные сечения графа являются каноническими, то матрицы узлов А и сечений Q совпадают с точностью до знака элемента строки.

Матрица главных контуров В представляет собой таблицу, в которой число столбцов равно числу ветвей графа р, а число строк - числу главных контуров, т. е. числу главных ветвей графа л =-= р - (7 4 1 (номера столбцов совпадают с номерами ветвей, а номера строк-с номерами главных контуров). Элементы i-й строки Ьц могут принимать значения М, -1 и 0; b,j -= fl, если /-Я ветвь входит в состав /-го контура, причем ее ориентация совпадает с ориентацией контура; bij - - 1, если ориентация /-й ветви, входящей в f-й контур, не совпадает с ориентацией контура; hij О, если /-Я ветвь не входит в 1-й контур. Например, матрица главных контуров В графа (см. рис. 1.26), соответствующая дереву графа, приведенному на рис. 1.31, в, имеет следующий вид:

номера главных контуров

номера ветвей

(1.51)

Матрицу главных контуров можно использовать для записи уравнений, составленных на основании второго закона Ккрхгофа. Пусть исследуемая цепь содержит р ветвей, д узлов и п р - д > I главных контуров. Умножая матрицу главных конгуров В на матрицу-