Метод Фостера применим для реализации положительных вещественных функций, нули и полюсы которых расположены только на мни-10Й оси и отрицательной вещественной полуоси. Этому ограничению удовлетворяют операторные входные функции реактивных, безыин-дуктивных и безъемкостных двухполюсников, а также операторные входные функции некоторых LC-цепей. Рассмотрим применение метода Фостера к синтезу реактивных двухполюсников.

Пусть реактансная функция Z (р) =- N {р)!М (р) должна быть реа-дизована в качестве операторного входного сопротивления линейной пассивной цепи. Разложим функцию Z {р) на простые дроби

Z{p) - oLp+oLolp+ 2 2a;pV+o)?). (9.3)

Здесь - число пар комплексно-сопряженных полюсов функции Z (р); соо. «о. «1 - постоянные действительные положительные коэффициенты, причем ар является целой частью функции Z (р):

аоо= Vim Z(p)/p; tto определяется как вычет функции Z (р) в полюсе р -= 0:

ae--=ResZ(p) =

р = 0

dM{p)idp Jp=o а{ - как вычеты функции z (р) в полюсах pt = ±/(й,-:

N(p)

Res Z(p) =

dM (p)/dp

Очевидно, что первый член разложения (9.3) можно рассматривать как операторное входное сопротивление индуктивности

- сс. (9.4)

второй член - как операторное входное сопротивление емкости

Со=1/ао, (9.5)

а каждое из слагаемых вида Zj (р) = 2aip/(p + со?) - как операторное входное сопротивление параллельной LC-цепи, составленной из элементов \

d l/(2af); Ц -- 2аг/со?. (9.6)

Таким образом, разложению (9.3) можно поставить в соответствие двухполюсник, представляющий собой последовательное соединение индуктивности L„, емкости Со и параллельных LC-цепей. Схема двухполюсника, реализующего разложения (9.3), называется первой канонической схемой Фостера (рис. 9.7).

Анализируя различные виды реактансмых функций Z (р) = N (р)1 /М (р), можно прийти к заключению, чтс первый член разложения (9.3) не равен нулю, если функция Z (р) имб полюс на бесконечности У таких функций степень полинома, стоящего в числителе, на едини-

Рис. 9.7. Первая каноническая схема Фостера

цу выше степени полинома, стоящего в знаменателе), а второй член разложения не равен нулю, если Z (р) имеет полюс при р = О (у таких функций множитель р в знаменателе может быть вынесен за скобки).

Следовательно, реактивный двухполюсник, реализующий заданную функцию Z (р) по первой канонической схеме Фостера, будет содержать индуктивность Loo только в том случае, если степень полинома N{p) превышает на единицу степень полинома М(р), и емкость только тогда, когда в многочлене М (р) множитель р может быть вынесен за скобки.

Пример 9.5. Методом Фостера построим двухполюсник, операторное входное сопротивление которого

Z (р) = (р- + 4)/(р + 9р), Ом,

В примерах 9.2, 9.3 было установлено, что данная функция является реактансной и, следовательно, может быть реализована с помощью метода Фостера. Непосредственно по виду функции устанавливаем, что искомый двухполюсник представляет собой последовательное соединение емкости Сд (в знаменателе функции р выносится за скобки) и параллельной LC-цепи (функция Z (р) имеет одну пару комплексно-сопряженных полюсов). Разлагая Z (р) на простые дроби

Z (р) = а„/р -Ь 2aip/(p2 +0)5),

где «о = 4/9, а, 5/18, (oj = 9, и используя соотношения (9.5), (9.6). определяем параметры элементов искомой цепи (рис. 9.8): Cq= 2,25 Ф, С, = 1,8 Ф, Ц = = 5/81 Гн.

Пример 9.6. Методом Фостера построим двухполюсник, входное сопротивление которого

Z (р) = (р + 9р)/(р +4), Ом.

4= Со

Заданная функция является реактансюй, поскольку реактансной является обратная ей функция, рассмотренная в Предыдущем примере. Непосредственно по виду функции Z (р) устанавливаем, 4ijio искомый двухполюсник должен пред-

-Со

:ц ==с,

Рис. 9.8. К примеру 9.5

Рис. 9. 9. К примеру 9.6

Рнс. 9.10. К примеру 9.7

1 ,павлять собой последовательное соединение индуктивности Loo и параллельной iC-цепн (рис. 9.9). Разлагая функцию Z (р) на простейшие составляющие Z (р) = р + 5р/(р + 4) u используя соотношения (9.4) и (9.6), определяем параметры входящих в двухполюсник элементов Loo - 1 Гн, = 0,2 Ф, Li == 1,25 Гн.

• ••••

Пример 9,7. Методом Фостера построим двухполюсник, входное сопротивление которого

Z (р) = (2р« + 5р2 + 2)/(рЗ + р). Ом

Очевидно, что искомый двухполюсник может быть реализован путем последовательного соединения индуктивности Loo, емкости Cq и параллельной LC-цепи (рис. 9.10). Разлагая функцию Z (р) на простые дроби Z (р) = 2р + 2/р + + РНр + 1) " используя соотношения (9.4), (9.5), (9.6), определяем параметры элементов Loo 2 Гн, С„ 0,5 Ф. Ci = 1 Ф, Li = 1 Гн.

Аналогичным образом синтезируют двухполюсник и тогда, когда заданная реактансная функция должна быть реализована в качестве операторной входной проводимости линейной пассивной цепи. Разложению функции Y (р) на простые дроби

Y{p)=ap-\-aalp-\- 2а, р/(р4-(о!).

(9.7)

где - число пар комплексно-сопряженных полюсов функции Y (р); а« = lim Y {р)1р, «о = Res Y {р), а/ = Res Y {р) - посто-

янные действительные положительные коэффициенты, можно поставить в соответствие двухполюсник из параллельно соединенных

Рис, 9.11. Вторая каноническая схема Фостера

Рис. 9.12. К примеру 9.8

емкости аоо, индуктивности Lq = Мао и последовательных

LC-цепей (рис. 9.11) с параметрами L; = 1/(2а0 и С; = 2a;/(i)f. Схема двухполюсника, соответствующего выражению (9.7), называется второй канонической схемой Фостера. Очевидно, что искомый двухполюсник содержит емкость С, если функция Y (р) имеет полюс на бесконечности (степень числителя функции Y (р) на единицу выше степени знаменателя), и индуктивность Lo, если функция Y (р) имеет полюс при р = О (в знаменателе фукнции Y (р) множитель р выносится за скобки).

Пример 9.8. Используя метод выделения проь им двухполюсник, проводимость которого

У (Р) = (Р* + Р)П2р* + 5р

\ейших составляющих, постро-

2), См.