или режима работы цепи. В линейных инвариантных во времени щ.. пях с распределенными параметрами погонное сопротивление Ri, индуктивность Lj, емкость Ci и проводимость утечки Gj не зависят от времени и режима работы цепи; они могут либо изменяться вдоль цепи по определенному закону, либо иметь одинаковые значения на всех ее участках. Линейные инвариантные во времени цепи с распределенными параметрами, погонные параметры которых постоянны и не зависят от координаты, называются однородными (регулярными). Цепи, погонные параметры которых изменяются вдоль цепи, т.е. являются функциями координаты, называются н е-однородными (нерегулярными).

В зависимости от того, какие процессы в исследуемой реальной цепи имеют преобладающий характер, а также от степени идеализации, эквивалентная схема элементарного участка цепи может не содержать тех или иных из показанных на рис. 1.41 элементов. В соответствии с этим цепи с распределенными параметрами подразделяют на цепи без потерь (LC-линии), резистивно-емкостные (7?С-линии), резистив-но-нндуктивные {RL-лшии) и резистивные (iG-линии). Наиболее интересны процессы в линиях без потерь и в линиях общего вида с малыми потерями, которые используются в основном для моделирования реальных линий передачи и колебательных систем сверхвысоких частот. С развитием микроэлектроники возрос интерес к исследованию процессов в RC-лшиях, которые используют в качестве моделей различных пассивных элементов интегральных микросхем (пленочных и диффузионных резисторов, конденсаторов, соединительных проводников и перемычек), а также к исследованию резнстивных линий, которые применяют для моделирования контактов к различным микроэлектронным элементам (141.

Общее решение дифференциальных уравнений длинной линии

При анализе цепей с распределенными параметрами необходимо определить характер изменения токов и напряжений вдоль цепи и и частотные или временные характеристики цепей относительно внешних зажимов.

Для этого необходимо найти частные решения дифференциальных уравнений линии (1.59), (1.60) при соответствующих начальных и граничных условиях. В связи с тем что решение данных уравнений в замкнутой форме для неоднородных линий может быть получено только при некоторых частных видах зависимостей погонных параметров от координаты, ограничимся сначала рассмотрением однородной линии длиной / (рис. 10.1).

Для решения дифференциальных уравнений линии воспользуемся операторным методом, который позволяет перейти от решения дифференциальных уравнений в частных производных для мгновенных значений токов / == i (х, t) и напряжений и = и (х, t) линии к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, составленных относительно операторных изображений соответствующих токов / (х, р) f= =i i [х, t) и напряжений V {х, р) = и (х, t).

Умножая правую н левую части уравнений (1.59), (1.60) на е-Р* л интегрируя в пределах от / = О до = оо, получаем

Py{Gi+pCi)Uix,p)--Ciu{x, 0); (10.1)

dx dU (.Y. P)

= {Ri + pLi)I{x, p)~Ui{x, 0),

(10.2)

где функции и (x, 0), I {x, 0) описывают распределение напряжения и тока вдоль линии при t = О, т.е. определяют начальные условия задачи. В связи с тем что в уравнениях (10.1), (10.2) содержатся произ-

u(a,t) Io

i(x,t) LidxjRjidK u(x,t)

u(l,i)

ог

x = 0

Рис. 10.1. Длинная линия

водные неизвестных функций U {х, р) и I {х, р) только по одной переменной, частные производные этих функций по х заменены обыкновенными (полными) производными.

При нулевых начальных условиях уравнения (10.1), (10.2) принимают вид

nY,{p)U{x,p);

dU (х.р) dx

= Zi{p)nx,p),

(10.3) (10.4)

где Zl (р) Ri -- pLi, Yl (p) Gj ~- pC, - операторные погонное сопротивление и погонная проводимость линии.

Уравнения (10.3), (10.4) путем исключения переменных могут быть сведены к одному дифференциальному уравнению, составленно.му относительно тока или напряжения. Продифференцировав правую и левую части уравнения (10.4) по л: и подставляя в него значение dl {х, p)/dx из уравнения (10.3), получаем

-y4p)Uix,p). (10.5)

Аналогичный вид имеет и операторное уравнение рассматриваемой (епи, составленное относительно тока / (х, р). Входящая в эти урав-[ения величина

V {р) = [р) Yl (р) = Y{Ri + pLi) {Gl +pCi) (10.6)

1азывается операторным коэффициентом распространения.

Таким образом, распределение операторных изображении токов и напряжений в линейной однородной инвариантной во времени цепи с распределенными параметрами определяется решениями линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, общее решение которого имеет вид

и {х, р) = Ai (р) е-v(p)a: + Л2 (р) ev(p) (10.7)

где Л, (р), Aip) - постоянные интегрирования, определяемые граничными условиями задачи, т.е. значениями неизвестных функций и (х, р) и / (х, р) в начале {х - 0) или в конце {х - /) линии. Подставляя (10.7) в уравнение (10.4), находим выражение для операторного изображения тока линии

/{X, р) = Л1 (р)e-v(p>vZb(Р)-Л2(р) еПР)/1в(р). (10.8)

Величина

Zb(p)=Zi(p)/7(p)= VZi(p),Yiip)=V(Ri+pLi)/(Gi+pCi) (10.9)

называется операторным волновым сопротивлением линии.

Определяя значения постоянных интегрирования, соответствующие тем или иным граничным условиям, и подставляя их в выражения (10.7), (10.8), можно получить операторные изображения тока н напряжения в любом сечении линии при произвольном внешнем воздействии, а также найти любые частотные и временные характеристики исследуемой цепи.

§ 10.2. ОДНОРОДНАЯ ДЛИННАЯ ЛИНИЯ

ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВНЕШНЕМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Волновые процессы в однородной длинной линии

Распределение комплексных действующих значений напряжения

и (х) и тока / (х) в однородной длинной линии, находящейся гюд гармоническим внешним воздействием, определяется выражениями

U{x)==Aie-- + Ae:; (10. ю)

/ (х) = Ai е "-/Zb - Лг c/Zb, (Ю. 11)

которые получаются из (10.7), (10.8) путем замены комплексной частоты р па /со. Входящие в выражения (10.10) и (10.11) комплексный коэффициент распространения

7 = K(i + AoL,)(Gi--/coCi) (10.12)

и комплексное волновое сопротивление

ZB = k(/?i-h/a)Li)/(GH-/»q (10.13)