10 8 6

Используя таблицы обратного преобразования Лапласа, переходим от изображения тока к оригиналу:

12 =

I I

5 7 5 и t/to

Рис 10 14. Ток на выходе короткозамкнутого 01рсзка длинной линии без потерь, подключаемом к источнику посто-яниого напряжения

О при /ею,?о[;

i 2kl„ при / G \(2k~\)t-

(2й+1)/,Л.

где k - 1, 2, 3, ...

Ток 1-2 можно рассматривать как результат наложения бесконечно большого числа конечных скачков тока высотой 2/о, сдвинутых во времени на 21 (рис. 10.14). Как и в предыдущем случае, переходной процесс в линии носит колебательный характер.

Распределение напряжения и тока в однородной линии без потерь при произвольном внешнем воздействии

Пусть напряжение «i на входе однородной длинной линии без потерь изменяется во времени по произвольному закону (10.75). Найдем распределение напряжения и тока в линии, если сопротивление нагрузки линии равно волновому. Для определения операторных изображений напряжений и токов в произвольном сечении линии воспользуемся выражениями (10.7) и (10.8). Очевидно, что первое и второе слагаемые, входящие в каждое из этих выражений, представляют собой операторные изображения падающей и отраженной волн напряжения или тока. Постоянные интегрирования Ау (р) и А (р) в рассматривае-.мом режиме могут быть найдены из условий

t/(0, р) - Uy(p); U{1, р) Rb I (/, р).

(10.78)

где операторные изображения напряжения в начале линии, напряжения в конце линии и тока в конце линии, определяемые из выражений О0.7), (10.8) при X - О и л; /, соответственно равны:

t/(o,p)=.(p)-f Л(Р);

U{l,p)Ay ip) e-v(p) + 4 (р) ev(p);

D r>

(10.79)

Подставляя (10.79) в (10.78) получаем Ay (p) =- Uy (p); Ai (p) = 0, откуда

и {x, p) = и i (p) e - Y(P)* = (p) e -p \

I(x, p)=Li£l-e-v(P)=./j(p)e--p>i*, (10.80)

1дс /i (/) МО, р ) и 1 (р) Rb - операторное изображение тока на входе линии.

Применяя к выражениям (10.80) теорему запаздывания, можно установить, что напряжение и ток в произвольном сечении липни l (jt, t) = и (х, р), i {X, t) = I {х, р) повторяют напряжение и ток в начале линии ы, = Ui{p), (i = Ilp) с задержкой на время -.xViCi х-Иф, требуемое для распространения падающей волны от начала линии до рассматриваемого сечения х. Если на вход линии будет подан, например, скачок напряжения = Е I (t), то он будет

£

£

Рис. 10 15, Распространение скачка напряжения вдол1> линии без потерь при согласованной нагрузке;

и - t = txi<lt,. о - It

распространяться по линии со скоростью Vф и через промежуток времени - /j. , достигнет конца линии, после чего напряжение во всех сечениях линии будет равно Е (рис, 10.15).

Если сопротивление нагрузки линии не равно волновому, то падающая волна, достигнув конца линии, полностью или частично отразится от него и начнет распространяться в направлении убывания х. Если линия не согласована с внутренним сопротивлением источника (Z; Ф Zb), то при x О волна повторно отразится, и новая волна начнет распространяться в направлении возрастания х. Таким образом, если линия не согласована с нагрузкой и источником энергии, то распределение напряжения и тока в линии (в частности, на выходе линии) будет определяться как результат наложения волн, распространяющихся в линии после многократных отражений.

Рассмотрим распределение напряжения и тока в разомкнутом на конце отрезке однородной линии без потерь, к входу которого в момент времени / - О подключают источник постоянного напряжения Е. Постоянные интегрирования Л, (р) и А., (р) в этом случае определяются из условий

и (О, р) Ul (р) - Е/р; I (/, р) 0.

(10.81>

Полагая в выражении (10.7) х = О, а в выражении (10.8) х = / и подставляя полученные значения в (10.81), получаем

ААр) г-4(р)- е/р; iM. e-v(p); Ые!. ет/ .-.о, в в

откуда

.-2ZV(p)

1 С- W Р

Подставляя значения постоянных интегрирования в (10.7), (10 м находим операторные изображения напряжения и тока в произволь ном сечении линии х.

U(x р)- "" е~(Л-ж)у(р) g рК е ;

1 р 1 е -"» /

(10 82)

/ (А-. Р)

р/?В 1 е" -"» Р

(10 83)

где /о £/.Rb, /с - к/-Л, =xVL,C,.

Если 1/(1 -Ь е-ро) представить как сумму бесконечной геометрической прогрессии 121

1(1+е 2р<.) [ е-ipf„ -4р(, - е-ро -е *р»--..,

то выражения (10.82), (10.83) можно переписать в виде более удобном для выполнения обратного преобразования Лапласа

U{x.p) - е е "I-"" v>-e

.е "("" >> ...-f е"("° -е -.

Переходя от операторных изображений искомых напряжения и тока к оригиналам, окончательно получаем

и(х, 1) E\\{t - ЦЛ 1 (( - 20 + У - 1 ( - 2(в - Q -

-\(t- At, t 1(/-4„-У 1(/-6<о У - ...]; (10.84)

, (X, /) /о П (i t,) - 1(/ - 2/o I /.v) ~ I (i - 2/o - У -T

К/-40 у l(/4/,.- у- 1(/-6/« /,)-...], (10.85)

Как видно из выражений (10.84), (10.85), напряжение н ток в произвольной точке линии х представляют собой сумму скачков, каждый из которых появляется в момент прихода в данную точку падающей или отраженной волны. Первый скачок возникает в момент прихода падающей волны, второй - в момент прихода волны, отраженной от нагрузки, третий скачок соответствует волне, отраженной от источника, четвертый - волне, повторно отраженной от нагрузки, и т. Д-При О <: / <: /д. напряжение и ток в точке х равны нулю. При t = tx в нее приходит падающая волна, в результате чего напряжение и ток скачком увеличиваются до уровнем Е и /„ соответственно (рис. 10.16, а)-В мймент времени / = to падающая волна достигает конца линии и отражается от него, при этом напряжение волны не изменяет знака,