их действующие, а не амплитудные значения. Выражая в (2.1) амплитуду Л да через действующее значение А, получаем еще одну форму записи гармонической функции

a(t) = V2Acos{wt + p). (2.12)

Линейные операции над гармоническими функциями

Важнейшим свойством гармонических функций времени является то, что в результате линейных операций, производимых над ними (умножением на постоянное число, дифференцированием, интегрированием, алгебраическим сложением нескольких гармонических функций одинаковой частоты), получают гармонические функции той же частоты.

Действительно, при умножении гармонической функции Qj (t) = At X Xcos {atj -Ь i)5i) на постоянный множитель а получаем новую гармоническую функцию

1 С) = «mi COS (wt + iii) = A cos (wt + \)),

угловая частота ы и начальная фазаг) которой совпадают с угловой частотой и начальной фазой исходной функции, а амплитуда А - a/lj отличается от амплитуды исходной функции в а раз.

При дифференцировании гармонической функции (i) = 4 cos (Ш -j- ф,) получаем

~ cos (tu/ + \j)i)]= -о)Л„1 sin (a)/+i)ji) = -й)Л1 cos [©H-i + (t/S)] = Am cos (wH-t),

T. e. гармоническую функцию той же частоты; ее амплитуда и начальная фаза равны соответственно

Am = Wml. Ф = Ф1 + (л/2).

Интеграл от гармонической функции а (t) = Ai cos (ш/ + ifi):

Л„1 cos (&)/+ ф,) dt (Ai/di) sin (wt + »i) (Л„,/й))Х

X cos [ю/ + - (n/2)l

представляет собой гармоническую функцию той же частоты, ее амплитуда и начальная фаза определяются выражениями (постоянная интегрирования принята равной нулю):

Am-- >lml/«. Ф 1 - ("/2).

При сложении двух гармонических функций Oi (J) н (О одинаковой часто, ты получают новую гармоническую функцию a{t) той же частоты [2]:

а (О - а, (О (О = cos (Ш + г)), (2.13)

где Л,„ - V, + Л+ 2Л1 Л2 cos (i), -if);

>tmi sin fi + >lni.sinit)a

ib = arctg ----;- .

Amicosip, + A2cos%

Многократно применяя формулу (2.13), можно убедиться, что результат алгебраического суммирования любого числа гармонических функций одинаковой частоты представляет собой гармоническую функцию этой же частоты. Аналогнч-

ным образом можно убедиться, что линейная комбинация любого количества гармонических функций времени одной частоты

2 (Xi Ami со (u)/ + l)i)=-mCOS (0)i + l3),

где a, = const, является гармонической функцией этой частоты.

Таким образом, линейные операции, выполняемые над гармонической функцией, приводят лишь к азменению ее амплитуды и начальной фазы; в результате линейных операций, выполняемых над совокупностью гармонических функций одной частоты, получается гармоническая функция той же частоты.

Дифференциальное уравнение цепи при гармоническом воздействии

Рассмотрим линейную электрическую цепь с сосредоточенными параметрами, находящуюся под монохроматическим (одно-частотным) гармоническим воздействием. Токи всех неуправляемых источников тока и э. д. с. всех неуправляемых источников напряжения такой цепи есть гармонические функции времени частоты ш. Дифференциальное уравнение этой цепи, составленное для любого из неизвестных токов и напряжений у= у (t), имеет вид (l.fil), причем правая часть этого уравнения представляет собой линейную комбинацию гармонических функций и их производных, т. е. является гармонической функцией времени той же частоты, что и внешнее воздействие:

V

+ av ,-+...-f a- + aoyAcosil + y). (2.14)

Следовательно, задача анализа линейной цепи с сосредоточенными параметрами при гармоническом воздействии сводится к решению линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, правая часть которого является гармонической функцией времени.

Ограничимся пока рассмотрением установившегося режима, т. е. будем считать, что действующие в цепи источники были подключены при t = -оо и к настоящему моменту переходные процессы в цепи полностью прекратились. Из теории дифференциальных уравнений известно, что в таком режиме уравнение (2.14) имеет единственное периодическое решение

.1/(0 = К„ cos (со + гр),

которое является гармонической функцией времени.

Итак, в установившемся режиме токи и напряжения всех ветвей линейн<Уй цепи, находящейся под гармоническим воздействием, являются гармоническими Функциями времени одной частоты и, следовательно, задача анализа цепи сводится к определению начальных фаз и амплитуд (или действующих значений) интересующих токов или напряжений.

§ 2.2. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД Понятие о символических методах

Установившиеся значения токов и напряжений линейной цепи, находящейся под гармоническим воздействием, могут быть найдены путем непосредственного решения дифференциального уравнения цепи (2.14) при /- оо, однако даже для относительно простых цепей эта задача оказывается весьма трудоемкой. На практике анализ таких цепей обычно выполняют с помощью метода комплексных амплитуд, разработанного в конце прошлого века американскими инженерами Ч. П. Штейнметцем и А. Е. Кеннеди. Большой вклад в развитие и теоретическое обоснование метода комплексных амплитуд внесли профессор Петербургского политехнического института В. Ф. Миткевич и советский ученый академик АН УССР Г. Е. Пухов.

Метод комплексных амплитуд, подобно известному логарифмическому методу, основан на идее функционального преобразования, при котором операции над исходными функциями (оригиналами) заменяются более простыми операциями над некоторыми новыми функциями, так называемыми изображениями или символами исходных функций. Методы такого типа будем называть символическими. Независимо от типа используемых функциональных преобразований решение любой задачи символическими методами содержит, как правило, следующие основные этапы:

1) прямое преобразование, в результате которого осуществляется переход от исходных величин (оригиналов) к их символам (изображениям);

2) определение изображений искомых величин путем выполнения по специально установленным правилам операций над изображениями;

3) обратное преобразование, с помощью которого переходят от изображений к оригиналам.

В частности, при использовании логарифмического метода исход-, ные величины на первом этапе заменяют их логарифмами. На втором этапе, выполняя необходимые действия над логарифмами исходных величин, находят логарифмы искомых величин; операции над логарифмами оказываются проще, чем соответствующие им операции над ис- ходными величинами (например, умножению исходных величин соответствует сложение их логарифмов, возведению исходной величины в степень т- умножение логарифма этой величины на /л и т. д.). На третьем этапе осуществляют обратный переход от логарифмов непосредственно к искомым величинам.

Очевидно, что эффективность каждого из символических методов определяется трудоемкостью прямого и обратного функциональных преобразований и тем, насколько операции над изображениями проще соответствующих им операций над оригиналами.