ной амплитуде Am может быть выполнен с помощью преобразования [31

K[a(01 = -Je-/-a(0d (2.32)

которое в дальнейшем будем называть прямым К-п реобразо-в а н и е м или просто К-преобразованием гармонической функции. В справедливости выражения (2.32) можно убедиться путем непосредственной подстановки в него а (t) = А cos (w + яр ) и Г == 2л/(й.

Используя выражения (2.28), (2.29) и (2.30), найдем формулу для обратного перехода от комплексной амплитуды к исходной гармонической функции времени:

а (t) = (Am е/" + Л„ e-ZO/S, (2.33)

где Ат= Л „е-/* - комплексное число, сопряженное с комплексной амплитудой (рис. 2.6, а). Операцию перехода от К-изображения гармонической функции к оригиналу (обратное К-п р е о б р а з о-в а н и е) будем обозначать К~:

К-1 (Л J = а (0. (2.34)

Выражения (2.31) и (2.34), устанавливающие связь между оригиналом и его изображением, могут быть заменены соотношением

а it) = Am,

в котором использован знак соответствия =, означающий взаимное соответствие между функциями, определенными в различных областях.

Как видно из приведенных примеров, прямое и обратное К-преоб-разования при практических расчетах электрических цепей можно производить непосредственно с использованием определения комплексной амплитуды (2.29) без применения выражений (2.32) и (2.33).

Операции над комплексными изображениями гармонических функций

Найдем операции над комплексными амплитудами, соответствующие линейным операциям (см. § 2.1) над гармоническими функциями времени.

Пусть необходимо умножить гармоническую функцию а (f) = Ащ X Xcos(o)/ -(- г))на постоянное число а.

Найдем комплексную амплитуду функции аа (<). В соответствии с определением К-преобразования (2.32) К-изображение функции аа (/)

К 1аа (01 = - je-/"aa (t) dt=a-j- Je-" a (Od/=«X„.

Таким образом, умноокение оригинала на произвольное число а соответствует умноокению изображения на это оке число:

аа (О = аЛ„. (2.35)

Найдем комплексное изображение суммы гармонических функций времени ai(t). Да (t)..., Ддг(0 с комплексными амплитудами = К (01. ms= = К (аа (/)], ... , Лдг = К [Од, (01. В соответствии с (2.32) получаем

К [«1 (О + (О + • • + % (0] = у- J е [ai (О + (О -f • • + ajv (Ol

% (О dt=Ami + Am2+ +A„N-

Итак, суммированию гармонических функций времени соответствует суммирование их комплексных амплитуд:

% (0+аа {t)+... +ад, (О = Ami + „j+ ... +Л„д,.

(2.36)

Из выражений (2.35) и (2.36) следует, что линейной комбинации гармонических функций времени соответствует линейная комбинация их комплексных амплитуд:

/е = 1 /! = 1

Здесь Kft - постоянные коэффициенты; N - произвольное целое число.

Найдем комплексное изображение производной гармонической функции времени а (t):

da jt) dt

- \ е-/"

a(t)

(2,37)

Интегрируя (2.37) по частям, получаем d

a{t)

= i [e-/-a(0]?+e-/-a(Od

Учитывая, что каждый из сомножителей произведения е а (t) является периодической функцией времени с периодом Т = 2п/й) и, следовательно,раз-ность значений этого произведения, взятых через период, равна нулю

[е" а (<)][ = е/" а (Г)-е/"" а (0) = 0.

а также, что величина ~ i е д (/) dt представляет собой комплексную амп-

литуду А гармонической функции а (О, получаем окончательно

Таким образом, дифференцированию гармонических функций времени соответствует умножение их комплексных амплитуд на /(в):

-а(0 = /о)Лт. (2.38)

Определим комплексное изображение интеграла от гармонической функции времени а (t)

Г 1 Г

j a{t)dt -=у je-" j a{t)dt

I---00 J 0

Интегрируя no частям, получаем

С 1 2 Ге-* P

1 (0

/о)Г

Следовательно, интегрированию гармонических функций времени соответствует деление комплексных амплитуд на /ш;

a(t) dt =

(2,39)

Итак, линейным операциям над гармоническими функциями времени соответствуют линейные операции над их комплексными амплитудами, причем операции дифференцирования и интегрирования заменяются операциями умножения и деления. Эти свойства комплексных изображений гармонических функций позволяют существенно упростить анализ линейных цепей, находящихся под гармоническим воздействием, так как позволяют заменять систему интегро-дифференциальных уравнений электрического равновесия цепи, составленную для мгновенных значений токов и напряжений ветвей, системой алгебраических уравнений для комплексных изображений соответствующих токов и напряженнй.

Наряду с комплексной амплитудой качестве изображения гармонической функции а (t) в комплексной плоскости широко исполь. зуют другую комплексную величину - комплексное действующее значение А. По определению, комплексное действующее значение гармонической функции a{t) = Y2A cos {(ot + гр) представляет собой комплексное число, модуль которого равен действующему значению А гармонической функции, а аргумент - ее начальной фазе г5:

Л = Ле/. (2.40)

Используя выражения (2. И) и (2.29), можно установить связь между комплексной амплитудой Am гармонической функции а (t) и ее комплексным действующим значением А:

А =- AJV2. (2.41)

На комплексной плоскости А изображается в виде вектора, совпадающего по направлению с вектором А- Длина вектора А в У2 раз меньше длины вектора Л-

Все правила, устанавливающие соответствие между операциями над гармоническими функциями времени и операциями над их комплексными амплитудами, справедливы и для операций над комплексными действующими значениями гармонических функций.

Величины / = 1т/У~ и и = UmV обычно называют комплексными током и напряжением цепи.