Комплексные сопротивление и проводимость участка цепи

Рассмотрим произвольную линейную цепь с сосредоточенными параметрами, находящуюся под гармоническим воздействием. Выделим участок этой цепи, имеющий два внешних зажима, и не содержащий источников энергии (рис. 2.7, а). Ток i и напряжение и на зажимах этого участка являются гармоническими функциями времени:

i = 1/2/cos (ш -fajO-и = V2i7cos ((o + iiJj.

По определению, комплексным входным сопротивлением (комплексным сопротивлением) Z

пассивного участка цепи назы-1„ f вается отношение комплексной

амплитуды напряжения на зажимах участка цепи к комплексной амплитуде тока:

Z - илг

(2.42)

Рис. 2.7. Идеализированный двухполюсник (а) и его комплексные схемы замещения (б, в)

Выражая комплексные амплитуды напряжения и тока через соответствующие комплексные действующие значения

От = V2U; im =2/, устанавливаем, что комплексное сопротивление пассивного участка цепи может быть также найдено как отношение комплексных действующих значений напряжения и тока:

Z = 0/1. (2.43)

Комплексное входное сопротивление пассивного участка цепи представляет собой в общем случае комплексное число, поэтому оно может быть представлено в показательной

Z = zef (2.44)

или алгебраической

Z = г + jx (2.45)

формах. Величины z = Z и ср называются соответственно модулем и аргументом комплексного сопротивления, величины г и х - его вещественной (резистивной) и мнимой (реактивной) составляющими (модуль комплексного входного сопротивления цепи z называется также полным входным сопротивлени-е м). Представляя комплексные амплитуды и комплексные действующие значения напряжений и токов в показательной форме, находим из (2.42) и (2.43)

. е *;) = е (" (2.46)

Сравнивая (2.44) и (2.46), устанавливаем, что модуль комплексного сопротивления г равен отношению амплитуд или действующих значений напряжения и тока на зажимах рассматриваемого участка цепи:

Z = = U/I, (2.47)

а аргумент равен разности начальных фаз напряжения и тока:

cp = ilu-*f (2-48)

В зависимости от фазовых соотношений между напряжением и током величина ф может быть больше нуля (напряжение опережает ток по фазе), меньше нуля (напряжение отстает по фазе от тока) или равна нулю (ток и напряжение совпадают по фазе).

Комплексное входное сопротивле- ""

-----*nZ о

ние может быть представлено в виде

вектора, расположенного в комплекс- s г~я} У

ной плоскости, длина которого в он- >

ределенном масштабе равна г, а угол Рис. 2.8. Изображение 2 и У на наклона к положительной веществен- комплексной плоскости

ной полуоси равен ср (рис. 2.8, а).

Вещественная г и мнимая х составляющие входного сопротивления Z представляют собой проекции вектора Z на вещественную и мнимую оси соответственно:

л Re [Z1 Z cos (f, X = Im [Z] = z sin ф.

Величина, обратная комплексному входному сопротивлению, называется комплексной входной проводимостью участкацепи

Y = 1/Z. (2.49)

Комплексная входная проводимость (комплексная проводимость) может быть определена как отношение комплексных амплитуд или комплексных действующих значений тока и напряжения на зажимах рассматриваемого участка цепи:

Y = UUm = i/U. (2.50)

Представляя комплексную проводимость Y в показательной форме

7= 1/г = е-/Ф/2 = уе*, (2.51)

находим, что модуль комплексной входной проводимости у = \У\, называемый полной входной проводимостью цепи, является величиной, обратной модулю комплексного входного сопротивления:

у = 1/г = IJUm = пи,

а аргумент входной проводимости равен по абсолютному значейию и противоположен по знаку аргументу комплексного входного сопротивления & = -ф.

Комплексная входная проводимость участка цепи может быть также представлена в алгебраической форме Y = g + jb. Здесь gab - вещественная (резистивная) и мнимая (реактивная) составляющие входной проводимости, которые можно рассматривать как проекции вектора Y на вещественную и мнимую оси комплексной плоскости (рис. 2.8, б): g = у cos b = у sin д.

Подставляя в (2.49) Z = г -f jxnY = g + jb, находим связь между вещественными и мнимыми составляющими комплексного сопротивления и комплексной проводимости участка цепи:

Yg + jb=l/{r + jx) = {r- jx)/ (r x), (2.52)

r + jx= l/{g + jb) = (g jb)l ig + b). (2.53)

Из выражений (2.52), (2.53) видно, что резистивные составляющие комплексного входного сопротивления и комплексной входной проводимости имеют одинаковые знаки:

g= г/ (г + хУ, г - gi (g + b), (2.54)

а реактивные составляющие - противоположные:

b = -х1 (г + х), X = -Ь1 + Ь). (2.55)

Отметим, что каждая из составляющих комплексного сопротивления (г и х) зависит как от резистивной g, так и реактивной b составляющей комплексной проводимости, а каждая из составляющих комплексной проводимости (g и Ь) в свою очередь зависит от г и л:.

Комплексная схема замещения цепи. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме

Комплексные сопротивление и проводимость пассивного участка линейной цепи были введены как отношения комплексных действующих значений или комплексных амплитуд напряжения и тока, приложенных к зажимам этого участка цепи. В то же время комплексные сопротивление и проводимость любого участка линейной цепи, составленного из идеализированных пассивных элементов, не зависят от амплитуд (действующих значений) и начальных фаз токов и напряжений и определяются только параметрами элементов, входящих в рассматриваемый участок цепи, способом их соединения между собой и частотой внешнего гармонического воздействия.

Зная комплексное сопротивление (комплексную проводимость) участка цепи и одну из приложенных к данному участку цепи величин: ток i = im или напряжение ы= От, можно, используя (2.42), (2.50), найти неизвестное напряжение или неизвестный ток исследуемого участка

Om = Zlm\ tm=Y U. (2.56)

Аналогично комплексные действующие значения напряжения и тока на зажимах участка цепи

О Zl; 1 = YU. (2.57)