§ 2.4. АНАЛИЗ ПРОСТЕЙШИХ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Последовательная RL-цепъ

Рассмотрим идеализированную электрическую цепь, состоящую из последовательно включенных сопротивления R и индуктивности L (рис. 2.18, а). Пусть напряжение и, приложенное к внешним зажимам цепи, изменяется по гармоническому закону

и = V2U cos {at + xpj,

где и, (О, г)„ - заданные величины. Используя метод комплексных амплитуд, найдем установившееся значение тока i в цепи.

Рис. 2.18. Схемы н векторные диаграммы последовательной RL-Mtxm

Искомый ток i является гармонической функцией времени той же частоты, что и приложенное напряжение:

i = YTl cos {at -f

где /, г3 - неизвестные действующее значение и начальная фаза тока (.

Представляя сопротивление и емкость комплексными схемами замещения и переходя от тока i и напряжения ы к их комплексным изображениям

i = i=-Ie!b- « = (/ (;e*»,

(2.80)

получаем комплексную схему замещения цепи (рис. 2.18, б). Далее, используя законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, составляем систему уравнений электрического равновесия цепи

UUrCJl; (2.81)

l=iR = tu (2.82)

(JaZii,; (2.83)

Ul = ZJl. (2.84)

Здесь Zji = R h Zl = jaL - комплексные сопротивления входящих в рассматриваемую цепь идеализированных элементов. Величины R, L и (й заданы.

Подставляя (2.82)-(2.84) в уравнение (2.81), находим соотношение, связывающее комплексные изображения искомого тока и заданного напряжения:

U{ZRZ0l = Zi. (2.85>

Выражение (2.85) представляет собой математическую запись закона Ома в комплексной форме для рассматриваемого участка цепи, причем Z = Zr -\- Zl = R -\- jaL есть комплексное входное сопротивление этого участка цепи. Выражению (2.85) можно поставить в соответствие комплексную схему замещения цепи (рис. 2.18, в). Таким образом, комплексное входное сопротивление цепи, состоящей из последовательно включенных сопротивления R и индуктивности L, равно сумме комплексных сопротивлений этих элементов. В дальнейшем убедимся, что аналогично можно найти комплексное сопротивление любого участка цепи, представляющего собой последовательное соединение произвольного количества идеализированных двухполюсных элементов.

Комплексное входное сопротивление рассматриваемой цепи может быть изображено на комплексной плоскости в виде вектора Z, равного геометрической сумме векторов Zr и Z (рис. 2.18, г). Длина этого вектора равна, в выбранном масштабе, модулю комплексного входного сопротивления рассматриваемой цепи

z = VR + {wL)\ (2.86)

а угол наклона к положительной вещественной полуоси - его аргументу

Ф = arctg (юШ). (2.87)

Отметим, что при конечных значениях а, L и R угол ф лежит в пределах

О < ф < л/2. (2.88)

Когда аргумент комплексного входного сопротивления ф какого-либо двухполюсника равен нулю, то говорят, что его входные сопротивление и проводимость имеют чисто резистивный (вещест-

венный) характер, когда cp = n/2 -чисто реактивный (мнимый) характер. Если аргумент комплексного входного сопротивления двухполюсника равен я/2, то его входные сопротивление и проводимость имеют индуктивный характер, если ф= -я/2- емкостной. В рассматриваемом случае значение аргумента ф определяется соотношением (2.88), поэтому входное сопротивление цепи имеет резистивн о-и ндуктивный характер.

Используя (2.85), найдем комплексное действующее значение искомого тока

/- i Z = е*и/(ге/ф) = f/e-р) /г, (2.89)

где Z и ф определяются соотношениями (2.86) и (2.87). Из выражений (2.89) и (2.80) можно определить действующее значение и начальную фазу тока:

/ == Ulz, грг = грц - ф.

Переходя от комплексного изображения тока к оригиналу, окончательно получаем

-yR{.Lf cos(.. + .-arctg).

В связи с тем что при заданной частоте внешнего воздействия ю установившиеся значения токов и напряжений цепи полностью определяются их действующими значениями и начальными фазами, на практике обычно не возникает необходимости находить оригиналы токов и напряжений. Задача анализа цепи считается решенной, если найдены комплексные действующие значения соответствующих функций.

Векторные диаграммы для тока и напряжений iL-цепи приведены на рис. 2.18, д. Так как напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током, вектор Ur совпадает по направлению с вектором /, вектор йь повернут относительно вектора / на угол я/2 против часовой стрелки (напряжение на индуктивности по фазе опережает ток). Независимо от начальной фазы напряжения " вектор / повернут относительно вектора UUr + Ul по часовой стрелке на угол ф, т. е-ток отстает по фазе от напряжения на угол ф, равный аргументу комплексного входного сопротивления цепи. Отметим также, что так называемый треугольник напряжений, образованный векторами и, Он и Ul. (рис. 2.18. d), подобен треугольнику сопротивлений (рис. 2.18, г), образованному векторами Z, Z

и ь-

Из векторной диаграммы видно, что действующие значения напряжения на входе цепи U, напряжения на сопротивлении Ur и напря-