1-1.-1

t t-j:

Рис. 2.35. Схемы лестничных цепей общего вида

Если лестничная цепь содержит поперечную ветвь, подключенную непосредственно к внешним зажимам цепи (рис. 2.35, б), то в виде цепной дроби может быть представлена входная проводимость

7 = Fi +-5-. (2.134)

Таким образом, для того чтобы выражения для входных сопротивлений или входных проводимостей лестничных цепей могли быть записаны в виде цепных дробей типа (2.133), (2.134), необходимо элементы, образующие продольные ветви, представить их комплексными сопротивлениями, а элементы, входящие в поперечные ветви, - их комплексными проводимостями.

Эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду и обратное преобразование

Найдем условия эквивалентности двух участков электрической цепи (рис. 2.36, а, б), которые представляют собой соединение пассивных идеализированных двухполюсников треугольником и звездой. По определению, эти участки цепи эквивалентны, если при замене одного участка другим токи выводов /j, /а, /3 и напряжения между выводами ia> аз> 31 останутся неизменными. Учитывая, что из трех напряжений между выводами только два являются независимыми (третье может быть найдено из уравнения баланса напряжений), для экви-

Рнс. 2.36. Эквивалентные преобразования треугольник-звезда и звезда-треугольник

валентности треугольника сопротивлений звезде достаточно потребовать, чтобы любая пара из трех напряжений между выводами одной цепи была равна соответствующей паре напряжений другой цепи (при одинаковых значениях токов внешних выводов).

Выразим токи сопротивлений Zj, Zg, Zj, образующих стороны треугольника сопротивлений, через токи внешних выводов 1 , /3. Составляя на основании законов Кирхгофа систему уравнений электрического равновесия этого участка цепи

А + /з1-Л2=0; /i + Za-f/a-O; 4 "Ь /12 - ОI 12 Аг + 23 Аз + /зх = О и решая ее относительно токов 1, /.3, /31, находим - (31 А-23 А) /(Zi2 -f £23 + z31); 4з = (212 4-z31 /3)/(Z«-f Z23-f Zji); (2.135)

al = (23 4 - .12 4) / (12 -H Z23 + z31).

Используя выражения (2.135), определим напряжения между внешними выводами треугольника сопротивлений

12-2i2 2 = 12 (Z31 /1 - Z23 /2)/(2i2+Z23-f-3i); 23 ~23 4з = £23 (2i2 2-31 4)(12 +Z23 +z31).

Соответствующие напряжения между внешними выводами звезды (рис. 2.36, б) t/i2 -= Zji - Zj; Us = Zj - Zj.

Приравнивая напряжения Lia и Оз между внешними выводами рассматриваемых участков цепи, находим

12 31 f Z12

А----;-~-- h -1 h-h\

Zoo Z, n . Z9.3 Zo

-23 fll2 » 31 r -7 t 7 t

"2---z-TZ-3 -.22-,3 ig.

(2.136)

£12 1£25+2з1 £l2-\-23-{-31

В соответствии со сказанным равенства (2.136) должны выполняться при любых значениях токов внешних выводов. Полагая в (2.136) сначала /.2 = О, а затем / 3 = 0, определяем соотношения между сопротивлениями, при которых рассматриваемые участки цепей (рис. 2.36, а, б) будут эквивалентными:

£l = 12 Zs/{Zri + z23 + z31);

Z2 = Z,2 Z2.,/(Zi2 -f z23 + Zpi); (2.137)

z3 -~ 23 z31 / (Zp + z23 + z31).

Рассчитав сопротивления Zj, Zj, z3 no заданным Zja, Zjj,, z31, можно осу1цествить эквивалентную замену треугольника сопротивлений звездой (преобразование треугольник - звезда). Из рис. 2.36 видно, что

при этом преобразовании из цепи устраняется контур, образуемый сопротивлениями Zi2, z23, z31, и появляется новый узел - место соединения сопротивлений Zi, Z2, z3.

Решая систему уравнений (2.137) относительно Zij, z23, z31, получим соотношения, позволяющие производить эквивалентную замену звезды сопротивлений треугольником (преобразование звезда-треугольник):

Zi2 ~ 1 -\- Z-lZp,

z23 = Z2 + z3 +Z2 z3/ZX; (2.138)

= z3 "bi + 3 Zl/Zp.

Преобразование звезда-треугольник приводит к уменьшению числа узлов преобразуемой цепи (за счет устранения узла, являющегося местом соединения сопротивлений Zj, Z2, z3), однако при этом появляется новый контур, образуемый сопротивлениями Z12, z23, Z.

Заменим в выражениях (2.138) комплексные сопротивления элементов их проводимостями. Проведя преобразования, установим, что выражения для комплексных проводимостей элементов, образующих стороны треугольника

= П YAYi + + YJ); (2.139)

Y,i = Y,Yi/{y\ + Y,+ Уз),

имеют такую же структуру, как и выражения для комплексных сопротивлений,.входящих в лучи звезды (2.137). Подобньм образом можно получить выражения для комплексных проводимостей лучей звезды Yl, У2. которые оказываются аналогичными выражениям для комплексных сопротивлений сторон треугольника (2.138). Учитывая, что рассматриваемые участки обладают дуальными графами (рис. 2.36, в), приходим к заключению, что эти участки цепей являются дуальными.

Выражения (2. 139) могут быть обобщены и для преобразования /V-лучевой звезды (см. рис. 1.23, б) в /V-угольник (см. рис. 1.23, а):

Yki-YYi/{Yy + Y, + ... + YM).

Здесь Улг - проводимость стороны /V-угольника, соединяющей узлы к и 1; Kj, Уз,..., Ум - проводимость элементов, образующих лучи звезды.

Обратное преобразование полного N-угольника в N-лучевую звезду в обшм случае невозможно.

Применение преобразований треугольник-звезда и звезда-треугольник в ряде случаев позволяет существенно упростить анализ цепей, в частности иногда с помощью этих преобразований удается приводить сложные участки цепей к более простым (параллельное, последовательное или смешанное соединение элементов).