i) или быть безразмерной (внешнее воздействие - «v и реакция цепи - «h либо внешнее воздействие - tv и реакция цепи - г).

Как и всякое комплексное число, КЧХ цепи может быть записана в показательной

Я,v(/•a))=Я,v(a))e**-" (3.2)

или в алгебраической

Hkv (/со) = Hkv (со) + jHkv (ю) (3.3)

формах. Представляя комплексные изображения отклика и воздействия в показательной форме

Y,nk - V2 7, == е"*!/ У 2 7, е*г/

и подставляя (3.4) в выражение (3.1), определяем модуль и аргумент КЧХ:

Я,(со) = К™,/тг=,/П; 5

tftv(co)=iiV-Чж-

Таким образом, модуль КЧХ равен отношению амплитуд или действующих значений отклика цепи и внешнего воздействия, а ее аргумент представляет собой разность начальных фаз отклика и внешнего воздействия.

Если Xniv - 1. КЧХ определяется выражением

(/со) \ , = П., = е*!/, (3.6)

следовательно, КЧХ цепи численно равна комплексной амплитуде реакции цепи на внешнее воздействие с единичной амплитудой и нулевой начальной фазой.

Зависимости модуля (w) и аргумента (сй) комплексной частотной характеристики от частоты со называются амплитудно-частотной (АЧХ) ифазо-частотной (ФЧХ) характеристиками цепи. Из сравнения выражений (3.2) и (3.6) видно, что АЧХ и ФЧХ цепи характеризуют зависимости от частоты соответственно амплитуды и начальной фазы отклика цепи на внешнее воздействие с Xjnw =1 Hija; = 0. Таким образом, КЧХ сочетает в себе амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики цепи.

При графическом представлении комплексных частотных характеристик цепи обычно строят либо отдельно АЧХ и ФЧХ, либо изображают зависимости от частоты вещественной Hk (w) и мнимой Я(ш) составляющих КЧХ, которые однозначно выражаются через Н (со) и %v (со):

Яftv (<й) = Нкм (со) cos »iiftv (со); Я*V (со) = Hkv (со) sin Skv (со).

Комплексную частотную характеристику можно изобразить и в виде одной зависимости - годографа КЧХ, построенного на комплексной плоскости. Годограф КЧХ представляет собой геометрическое место концов вектора Нч (/со), соответствующих изменению часто-

ты от (О = о до (й = оо (рис. 3.2). На годографе указывают точки, соответствующие некоторым значениям частоты ю, и стрелкой показывают направление перемещения конца вектора Hkviia) при увеличении частоты. Как видно из рисунка, годограф КЧХ позволяет одновременно судить как об АЧХ и ФЧХ, так и о зависимости вещественной ЯAv(<>) и мнимой Hkv (ю) составляющих КЧХ от частоты. Годограф КЧХ иногда называют амплитудно-фазовой характеристикой цепи.

Комплексные частотные характеристики цепи делятся на входные и передаточные. Когда отклик и внешнее воздействие рассматриваются на одних и тех же зажимах цепи (см. рис. 3.1, в), КЧХ называется

входной. Если отклик и внеш-ш нее воздействие задаются на раз-

"( ных зажимах цепи (см. рис. 3.1, б),

N. КЧХ называется передаточ-

---ной. Различают два вида вход-

Ji><->)j \ ных и четыре вида передаточных

,<ут й)=оо характеристик.

0,5 н(ш) 1 Re[HQ(ju)] Если внешнее воздействие на

„ „ „ . цепь является током лгу (t) =

Рис. 3.2. Годограф комплексной ча- • /,ч • / „„V

стотной характеристики цепи = v (0= , а реакция - напря-

жением (t) = Uv (t) = Uv, то КЧХ цепи представляет собой комплексное входное сопротивление цепи относительно зажимов v - v:

vv (/ю) = Zw (/ш) = Uv/iy.

К входным характеристикам цепи относится также комплексная входная проводимость

Fvv(/w)=/v/v,

при этом внешнее воздействие - напряжение «v(0 = v. а реакция - ток tv (О Ф А-

К передаточным характеристикам цепи относятся: комплексный коэффициент передачи по напряжению

Kkv il(o) = UJUv, комплексный коэффициент передачи по току

Gftv(/w)=/fe v,

комплексное передаточное сопротивление

и комплексная передаточная проводимость

nv(/w)-4/Lv.

Очевидно, что комплексное входное сопротивление Zw (/ю) и комплексное передаточное сопротивление Zv (/<») имеют размерность сопротивления, комплексная входная проводимость Kvv (/®) и комплексная передаточная проводимость Ykv (J) - размерность прово-

димости. Комплексные коэффициенты передачи по току Gav (/<») и напряжению Kkv (/ю) являются безразмерными величинами.

В дальнейшем будет показано, что КЧХ линейных цепей не зависят от амплитуды и начальной фазы внешнего воздействия, а определяются структурой цепи и параметралш входяш,их в нее элементов. Знание КЧХ позволяет определить реакцию цепи у и (t) == Yk на заданное гармоническое воздействие ху, (t) = Ху,:

Yk = Hkv Ow) Xr.

В общем случае каждая линейная цепь характеризуется большим числом комплексных частотных характеристик, так как любая из рассмотренных разновидностей КЧХ может быть определена для различных сочетаний пар входных и выходных зажимов и при различных значениях сопротивлений нагрузки.

Комплексные частотные характеристики идеализированных двухполюсных пассивных элементов

Идеализированные двухполюсные пассивные элементы обладают только входными КЧХ. В связи с этим у них имеется только одна пара внешних выводов, нумеровать выводы в обозначениях КЧХ не будем.

- v--

Рис. 3.3. АЧХ (а) и ФЧХ (б) сопротивления

Рис. 3.4. Зависимости от частоты вещественной (д) н мнимой (б) составляющих 2н(/со)

Сопротивление. Комплексное входное сопротивление этого элемента определяется выражением

Z« (/M) = Z« = i?.

Модуль комплексного входного сопротивления Zr (со) и его аргумент cpR (ю) не зависят от частоты:

Z„ (w) = R; cpR (w) = 0,

в связи с чем АЧХ и ФЧХ комплексного входного сопротивления имеют вид прямых линий с постоянной ординатой (рис. 3.3, а, б), Зави- симости от частоты вещественной и мнимой составляющих комплексного входного сопротивления

Z« (») R; Zk (со) = О