пренебречь внутренним сопротивлением источника (далее будет рассмотрено влияние внутреннего сопротивления источника на характеристики контура) и заменить сопротивления потерь конденсатора Rcnoe и индуктивной катушки Rbaoc сопротивлением

R Rl пос + Rc пос Rl пос, (3.25)

которое считается практически не зависящим от частоты (рис. 3.17,в).

Итак, с учетом принятых допущений исследование процессов в последовательном колебательном контуре сводится к исследованию последовательной iLC-цепи, к зажимам которой подключен идеальный источник напряжения. Ток, отдаваемый этим источником, назовем т о-комконтура; напряжение, создаваемое источником на зажимах ; - - напряжением контура. Под входным сопротивлением контура будем понимать входное сопротивление последовательной RLC-тпя относительно зажимов / - /, определяемое выражением (2.96).

Резонансная частота, характеристическое сопротивление и добротность контура

По определению, мнимая составляющая входного сопротивления последовательного колебательного контура

Im [Z] lm{R-\][wL-\/{wC)]} = coL - 1/(mC) = Xl + Xc (3.26)

должна быть равна нулю, когда угловая частота внешнего воздействия (1) равна резонансной частоте контура сОц. Полагая в выражении (3.26) ю = Юо, получаем уравнение для определения резонансной частоты последовательного колебательного контура:

Ini [2]<о=ш.-[z. + Хс]<о=ш.= щЬ- 1/((йоС)-О, (3.27)

откуда

шо - 1 iVLC; fo --== (йо/(2я) = 1 /(2я УЩ. (3.28)

На резонансной частоте полное сопротивление емкости

Zc 1а.==<о, = Uc о. = <о. = 1 /{щ С) -= р (3.29)

равно полному сопротивлению индуктивности

ZLl«)=«.. = Xi.«=«.-=ft)oI~p. (3.30)

Величина р, равная полному сопротивлению емкости или индуктивности контура на резонансной частоте, получила название характеристического сопротивления контура. Подставляя в (3.29) и (3.30) выражение для резонансной частоты контура, убеждаемся, что значение р не зависит от частоты и определяется только параметрами реактивных элементов контура:

р = щ1 = 1/((йоС) - УТ/С. (3.31)

6 (ак. 565 . 161

На резонансной частоте входное сопротивление контура имеет чисто резистивный характер и равно сопротивлению потерь контура

Z(a=<0, = R-

Действующее значение тока контура на резонансной частоте

/ UIR, (3.32)

где и - действующее значение напряжения на контуре. Действующие значения напряжений на реактивных элементах контура на резонансной частоте определяются произведением характеристического сопротивления на действующее значение тока:

Отношение действующего значения напряжения на реактивном элементе контура к действующему значению напряжения на контуре на резонансной частоте называется добротностью контура

QUJU U=<o.= Uc/U а.=<о. =p/R. (3.33)

Используя выражение (3.31), добротность колебательного контура Q можно выразить через параметры его элементов

Как правило, добротность колебательных контуров совремерной радиотехнической аппаратуры лежит в пределах от нескольких десятков до нескольких сотен, поэтому в режиме резонанса напряжение на реактивных элементах контура может во много раз превышать приложенное к контуру напряжение. Как следует из выражения (3.34), при неизменной резонансной частоте «о добротность контура растет с увеличением характеристического сопротивления контура и с уменьшением сопротивления потерь.

Добротность колебательного контура может быть выражена через добротности его элементов Действительно, рассматривая величину

(/ \IQ-- Rip

и учитывая, что сопротивление потерь контура равно сумме сопрогив-леннй потерь индуктивной катушки и конденсатора в последовательных схемах замещения, находим

1/Q - RluoAL) + CRcno.. (3.35)

Сравнивая полученное выражение с соотнопюниями (3.18), (3.19). устанавливаем, что величины «)oL/i?i,iioc и KoCRcnoc) равны добротное! ям индуктивной катушки и конденсатора на резонансной частоте:

Qlo = «о L/Rl пос, qco = 1 /(«о CRc пос). (3.36)

Подставляя (3.36) в (3.35), получаем простое выражение, связывающее добротность контура с добротностями элементов контура на резонансной частоте:

1Q= 1/Ql«-!-1/Qro- (3.37)

Анализ выражения (3.37) показывает, что добротность контура не может превышать добротности его элементов на резонансной частоте. Как правило, Qco Qlo. поэтому добротность контура в основном определяется добротностью индуктивной катушки на резонансной частоте. Величина d, обратная добротности контура, называется его з а -туханием.

Энергетические процессы в последовательном колебательном контуре

Пусть последовательный колебательный контур настроен на частоту источника энергии, т. е. параметры реактивных элементов контура выбраны таким образом, что резонансная частота а>о совпадает с частотой внешнего воздействия со. Определим мгновенные значения энергии, запасаемой реактивными элементами контура, и энергию, потребляемую им от источника.

Как было установлено ранее, на резонансной частоте напряжение и ток контура совпадают по фазе (рис. 3.18, a)j и = У2 и cos {at + -f T;);f = /2/cos (а)о + я;), a их действующие значения связаны между собой соотношением (3.32). Мгновенное значение энергии, запасаемой в индуктивности, определяется током индуктивности

II = i = K2/c0s {(o,t + ур), (3.38)

а мгновенное значение энергии, запасаемой в емкости, - напряжением на емкости (рис. 3.18, б)

Uc = y2I-l-cosUt-f.yp- 0)0 С \ 2 J

= K2/p sin (wof-fill). (3.39)

Рис 3 18. Временные диаграммы последовательного колебательного контура:

а - тока и напряжения на входе; б - напряжения на емкости; в - энергии, -запасенной в реактивных элементах

Подставляя (3.38), (3.39) в выражения (1.25) и (1.18), получаем

Wl - Ltl/2 =- L/cos (о), + 1з) L/M1 + cos2(u)o/ + Щ1%

(3.40)

Wc = ад/2 - C1Y sin («0 + г5) - L/41 - cos 2 ((Oat + )\/2.

Зависимости мгновенных значений энергии, запасаемой в реактивных элементах контура, от времени приведены на рис. 3.18, в. Как видно из временных диаграмм и выражений (3.40), энергия, запасаемая в емкости и индуктивности, имеет две составляющие: постоянную LP/2