в связи с тем что напряжения на связанных индуктивностях выражаются через токи этих индуктивностей, метод токов ветвей может быть применен и для составления уравнений электрического равновесия цепей со связанными индуктивностями (см. пример 2.13),

Дуальным по отношению к методу токов ветвей является метод напряжений ветвей. При составлении системы уравнений электрического равновесия цепи с помощью этого метода в качестве независимых переменных используют неизвестные напряжения р - ветвей. Система уравнений электрического равновесия в этом случае включает в себя р-- q + \ уравнений баланса напряжений я q - - 1 уравнений баланса токов, причем неизвестные токи всех ветвей, входящие в эти уравнения, должны быть выражены через напряжения этих же ветвей. Число ветвей, напряжения которых могут быть заданы независимо, не может превышать числа независимых узлов q- 1. Когда число ветвей, составленных только из независимых источников напряжения, равно числу независимых узлов (р„н - q- 1), число неизвестных напряжений ветвей равно числу независимых контуров р - q \ и они могут быть определены из р - q + \ уравнений баланса напряжений.

Метод напряжений ветвей в общем случае нельзя использовать для формирования уравнений электрического равновесия цепей со связанными индуктивностями. Это связано с тем, что токи таких индуктивностей могут быть выражены через соответствуюиие напряжения только при коэффициенте связи между индуктивностями, меньшем единицы. Это следует из соотношений, полученных для токов связанных индуктивностей, выраженных через напряжения с использованием (2,165):

h = iL2 Vi =F/nL/2)/[/w (Li L-M)]; 4 = (Ij Uz-=MUi)l\iii,(Lj L-M)\.

Полученные выражения имеют смысл только при М Ф YLiLz, т. е. при км<.1. Таким образом, метод напряжений ветвей является менее общим, чем метод токов ветвей.

Итак, методы формирования уравнений электрического равновесия цепи, основанные на непосредственном применении законов Кирхгофа, позволяют уменьшить число одновременно решаемых уравнений от 2р - Рит - Рии А"

Р - Рит или р - Рин.

Метод контурных токов

Метод контурных токов основан на важной топологической особенности электрических цепей, вытекающей из первого закона Кирхгофа и заключающейся в том, что токи всех ветвей цепи могут быть выражены через токи главных ветвей. Для определения токов главных ветвей (контурных токов) составляют систему из р - рит - q + I уравнений, называемых контурными уравнениями. Рассмотрим методику формирования контурных уравнений на примере простой цепи, не содержащей источников тока, схема которой приведена на рис. 4.1, а. Выбирая произвольно дерево графа этой цепи, убеждаем-

ся, что токи ветвей дерева однозначно выражаются через токи главных ветвей. В частности, используя дерево графа и соответствующую ему систему контуров, изображенных на рис. 4.1, в~д, находим на основании первого закона Кирхгофа, что токи ветвей дерева Д, Д, Д могут быть выражены через токи главных ветвей /3, /4, Д:

Д = Д+Д; Д - Д- /з; Д=Д + Д. (4.5)

Таким образом, если каким-либо образом определить токи главных ветвей, то далее, используя соотношения (4.5), можно найти токи остальных ветвей цепи, а затем найти неизвестные напряжения ветвей. Следовательно, для полного описания процессов в цепи достаточно определить только токи главных ветвей исследуемой цепи. Из соотношения (4.5) также следует, что максимальное количество токов ветвей, которые могут быть заданы независимо, не может превышать числа главных ветвей.

Для определения токов главных ветвей цепи (см. рис. 4.1) воспользуемся уравнениями, составленными на основании второго закона Кирхгофа, выразив входящие в них напряжения ветвей через токи главных ветвей. Подставляя (4.3), (4.5) в уравнение (4.2), получаем

(Zi++Ze) д+zj,+Zj Д = 4;

2e Д + (Z 2 + Z, + Ze) Д-Z, Д = (4.6)

Zi U-Z i,+ {Z,+Z2 + Z,) ls = E~E2.

Разумеется, решить контурные уравнения (4.6), легче, чем основную систему уравнений электрического равновесия цепи (4.1)-(4.3) или систему уравнений (4.4).

На практике контурные уравнения формируют с помощью простого алгоритма, не прибегая к составлению основной системы уравнений электрического равновесия, поэтому применение этого метода позволяет упростить и составление, и решение уравнений электрического равновесия цепи. Для того чтобы сформулировать правила составления контурных уравнений, введем ряд новых понятий.

Собственным сопротивлением Z(,-j) t-ro контура назовем сумму сопротивлений всех ветвей, входящих в этот контур. В цепи (см. рис. 4.1, а) выделено три независимых контура (см. рис. 4.1, в-5); их собственные сопротивления

Z(i 1) =Zi-f Z44-Z6; Z(22) =Z2--Z5-fZ6; Z(33) = Zi-fZ2 + Z3. (4.7)

В каждом из уравнений (4.6) имеется член, равный произведению собственного сопротивления /-го контура на ток главной ветви, входящей в данный контур. Этот член можно рассматривать как падение напряжения на собственном сопротивлении i-ro контура, вызванное током главной ветви, если бы он протекал через все ветви, входящие в

данный контур, т. е. замыкался бы в j-м контуре. Такой ток называется контурным током. Таким образом, контурный ток t-ro контура in равен току главной ветви, входящей в данный контур. Направление контурного тока во всех элементах контура совпадает с направлением его обхода, т. е. с направлением соответствующей главной ветви. Для цепи, схема которой представлена на рис. 4.1, имеем

/и=/4; 42-4; 4з=/з. (4.8>

Как следует из (4,5) и (4.8), токи всех ветвей цепи могут быть выражены через контурные токи этой цепи.

Взаимным, или общим, сопротивлением t-ro и /-Г0 контуров называется сопротивление Zj), равное сумме сопротивлений ветвей, общих для этих контуров. Взаимное сопротивление Z(jj) берется со знаком плюс, если контурные токи рассматриваемых контуров протекают через общие для этих контуров ветви в одинаковом направлении; если контурные токи в общих ветвях имеют противоположные направления, то взаимное сопротивление берут со знаком минус. Если рассматриваемые контуры не имеют общих ветвей, то их взаимное сопротивление равно нулю. Взаимные сопротивления контуров цепи (см. рис. 4.1)

Z(i2) =Z(2i) -Zisi (23) =Z(32) == -Zi, Z(i3) =Z(3i) {-y

Контурной Э. д. с. t-го контура называется алгебраическая сумма э. д. с. всех идеализированных источников напряжения, входящих в данный контур. Если направление э. д. с. какого-либо источника, входящего в г-й контур, совпадает с направлением контурного тока этого контура, то соответствующая э. д.с. входит в Ёц со знаком плюс, в противном случае - со знаком минус. Контурные э. д. с. рассматриваемой цепи

Ёп = Ё,-Ё22 = Ёг,Ё,, = Ё1-Ё,. (4.10>

Используя обозначения (4.7)-(4.10), представим контурные уравнения (4.6) в канонической форме записи:

;5(II) /il+Z(!2) 42+(13) 4з=-11;

(21) 4l+:(22) 42 + 2(23) 4з=£22; (4,11>

2(31) 4i+2(32) 42+2(33) 4з = зз-

Анализируя (4.11), нетрудно установить, что все контурные уравнения имеют одинаковую структуру: левая часть контурного уравнения есть сумма членов, один из которых равен произведению контурного тока соответствующего контура на собственное сопротивление этого контура, а остальные - произведениям контурных токов других контуров на взаимные сопротивления этого контура и других контуров; правая часть контурного уравнения содержит только один член - контурную э.д.с. рассматриваемого контура.