Полученные результаты могут быть обобщены на случай произволь-юй линейной цепи, составленной из сопротивлений, емкостей, ии-(уктивностей и независимых источников напряжения:

2(11) Л1 +2(12) Да + ••• fZ(i„) iunJii,

2(21) fix "h 2(22) /22 Ь •• f 2(2n) nn~i2\ 2(n!) /ц -Ь 2(„2) Д2 + •• +2(nn) Дп - £пгм

(4.12)

де n = p - q i- I - число независимых контуров цепи. Итак, зная труктуру контурного уравнения, нетрудно сформировать систему онтурных уравнений любой цепи, не прибегая к составлению основой системы уравнений электрического равновесия Используя матричную форму, уравнения (4.12) можно переписать

2(4) hi = Ей-

1десь

(4.13)

матрица контурных сопротивлений;

матрицы-столбцы контурных токов и контурных э. д. с.

Для линейных цепей, составленных только из сопротивлений, ем-остей, индуктивностей и независимых источников напряжения, ма-эица контурных сопротивлений квадратная, причем вследствие того, го для таких цепей всегда выполняется условие Zj) = Z(y;), ма-оица Z(,-j) симметрична относительно главной диагонали.

Решая систему уравнений (4.13) любым из методов, можно найти :е неизвестные контурные токи цепи. Например, используя формулы фамера, запищем выражение для контурного тока k-vo контура

Яа2+.-- +

Ёи (4-. 14)

где А - определитель системы уравнений (4,13); Агл - алгебраИче-(•кое дополнение элемента Zfy этого определителя. В аналогичной форме могут быть записаны выражений для KoHtypHbix Токов всех остальных контуров. Следует отметить, что формулы Крамера, позволяющие получить в явной форме аналитические выражения для контурных токов, нашли применение лишь при теоретическом исследовании свойств электрических цепей. Вычисление значений контурных токов при « 3 с помощью формулы Крамера является весьма трудоемким. Поэтому на практике обычно используют более экономичные методы, такие, например, как метод исключения Гаусса или LfZ-npe-образование [4, 51

Если электрическая цепь помимо сопротивлений, емкостей, индуктивностей и независимых источников напряжения содержит такЖе независимые источники тока, то последние с помощью рассмотренных в § 2.6 преобразований можно заменить независимыми Источниками напряжения. Однако систему Контурных уравнений такой цепи моЖНо составить и не прибегая к преобразованию источников.

Пусть в Состав мсследуёмйй цепи входит р„ ветвей, включающих независимые источники тока. Выберем дерево цепи таким образом. Чтобы ветви с источниками тока воп1ЛИ в состав главных ветвей. Очевидно, что контурные тоКи контуров, кйторые эа.мыкаются главными ветвями, содержащими источники тока, равны токам соответствующих независимых источников. Эти токи заданы и не требуют Определения. Таким образом, число неизвестных контурных токОв меньше числа независимых контуров п - р - 1 1 на рт Для определения неизвестных контурных токов необходимо составить систему нз р - - Рт - с/ Н 1 контурных уравненнй для контуров, не содержащие-ветвей с источниками тока. Контурные уравнения такой цепи могут быть записаны в такой же форме, как и контурные уравнения цепи, не содержащей источников тока (4.12), (4.13), ЗДнако матрица контурных сопротивлений в этом случае будет не квадратной: число столбцов будет равно числу независимых контуров п р - q }- ], а число строк - числу Неизвестных контурных токов р - - q + I. После формирования контурных уравнений в форме (4.12), (4.13) входящие в каждое уравнение члены, содержащие известные контурные токи, переносят в правую часть соответствующих уравнений.

Пример 4.9. Составим систему контурных уравнений дли цепи, схема копюрой приведена на рис. 4.2, а Чис.ю ветвей этой цепи р 6, число узлов 44, число ветвей, содержащих источники тока, pf I. Выберем дерево графа цепи таким образом, чтобы ветвь с источником таКа вошла в число главных ветвей Соответствующая выбранно.иу дереву cucme.fta независимых кон-Щров изображена на рис. 4.2, б. Й свЛэи с тем что число независимых контуров цепи равно р - (/ + f 3, й числа НеизвесМНых контурных токов р - рит - --9 4 1 = 2, система контурных уравнений имеет ёид

(11) n-\ £(12) 22 f £(1зу /g5 = £j,; £(•21) 4l +£ 22) 22Н" fiS) 4s--22>

где /ji = 4, /22 - h - неизвестные контурные токи первого и второго контуров; /33 = =j - известный контурный ток третьего контура; Zjj = = £2 + Z3; Z22 = 2-собственные сопротивления первого и второго

контуров; - Zi) = -£3. £(23) = - Zg, Z(i3) = 0 -взаимные сопротивления

контуров; fj, = Ё, Ё = О - контурные э.д.с. первого и второго контуров.

Перенося члены, содержащие известный контурный ток, в правую часть уравнений и выражая собственные и взаимные сопротивления контуров через параметры элементов рассматриваемой цепи, получаем окончательно

-Z,I,, + iZ+Zi+Z,) h, = Z,J.

Таким образом, система контурных уравнений рассматриваемой цепи содержит два уравнения для определения двух неизвестных контурных токов.

Метод контурных токов можно использовать и для составления уравнений электрического равновесия цепей со связанными индуктивностями, однако алгоритм формирования матрицы контурных сопротивлений при этом усложняется. Поэтому при анализе цепей с взаимной индуктивностью целесообразно либо заменять связанные индуктивности участками цепей, не содержащими связанных индуктивностей, либо формировать уравнения электрического равновесия с помощью метода токов ветвей.

В ряде случаев при составлении контурных уравнений в качестве независимых удобно выбирать не главные контуры, а контуры, соответствующие ячейкам графа рассматриваемой цепи. Следует, однако, иметь в виду, что такой подход применим только к анализу цепей, граф которых является планарным.

Метод узловых напряжений

При составлении уравнений электрического равновесия цепи по методу напряжений ветвей в качестве независимых переменных были использованы р - /р„„ неизвестных напряжений. Принимая во внимание, что напряжения ветвей связаны р - «7+1 уравнениями баланса напряжений, количество независимых напряжений, относительно которых формируется система уравнений электрического равновесия цепи, может быть уменьшено до -р„„ -1. Если дерево графа цепи выбрано так, что ветви, содержащие только независимые источники напряжения, вошли в число ветвей дерева, то в качестве независимых переменных можно выбрать неизвестные q - рн - 1 напряжения ветвей дерева. Такой метод формирования сокращенной системы уравнений электрического равновесия цепи называется м е-тодом напряжений ветвей дерева. Этот метод не получил широкого распространения.

В качестве независимых переменных, относительно которых формируют уравнения электрического равновесия цепи, удобно использовать так называемые узловые напряжения, т. е. напряжения независимых узлов рассматриваемой цепи относительно базисного. Можно показать, что напряжения всех ветвей электрической це-