flU могут быть выражены через узловые напряжения этой цепи. Цеисг-вительно, напряжение некоторой ветви, включенной между i-м и базисным узлами, равно узловому напряжению j-ro узла Uio, взятого со знаком плюс или минус в зависимости от направления напряжения этой ветви, а напряжение ветви, включенной между t-м и /-м узлами (рис. 4.3), - разности узловых напряжений этих узлов

Если исследуемая цепь не содержит независимых источников напряжения, то все q - 1 неизвестные узловые напряжения независимы. Если цепь содержит ветвей, составленных только из независимых

(i) 1к . 1« и) о-1 I-*--о

Uu "го

Рис. 4.3. К определению понятия узлового напряжения

Рис. 4.4. К составлению уравнений электрического равновесия методом узловых напряжений

источников напряжения, то узловые напряжения узлов могут быть выражены через q - - 1 независимых узловых напряжения, для определения которых записывают ? - Рин - I уравнений электрического равновесия цепи, называемых узловыми. Метод формирования уравнений электрического равновесия цепи,в котором в качестве независимых переменных используются неизвестные напряжения независимых узлов относительно базисного, называется методом узловых напряжений.

Рассмотрим метод формирования узловых уравнений на примере цепи, не содержащей источников напряжения (рис. 4.4). Рассматриваемая цепь иол\чена из цепи, схема которой изображена на рис. 4.1, а, путем преобразования источников напряжения в источники тока и замены комплексных сопротивлений ветвей их комплексными проводимостями. Она имеет три независимых узла, для которых можно составить уравнения баланса токов

4 + 4 + А-А = 0; -/4-/5 + 4=0;

/2-4+4-л-0.

(4.15)

Выразим неизвестные токи ветвей цепи через напряжения этих ветвей, а напряжения ветвей - через соответствующие узловые напряжения:

4 = Кг и, = П О,,; 4= Y, О, = Y, (0-0.); (4.16)

/з = Y, и\ = Кз (U,,-U,o); /в = П = Y, и,о.

Подставляя выражения (4.16) в (4.15), получим систему уравнений для определения трех неизвестных узловых напряжений

-П + {Y, -Н Y,+ Y«) Ui-Y, 0 = 0; - Yn 0,-У, + iY,+ Y, + П) 0 = и

Введем ряд новых понятий. Собственной проводимостью Y(i,) i-TO узла будем называть сумму проводимостей всей ветвей, подключенных к данному узлу. Для рассматриваемой цепи

У(Н) = П + П + Yj, К,22) - П+ K,-f Yj, = Y+Yj + Y. (4.17)

Взаимная проводимость /--fо и /-гО узлов - sto сумма проводимостей всех ветвей, включенных непосредственно между этими узлами, взятая с противоположным знаком. Если в цепи отсутствуют ветви, включенные непосредственно между 1-м и /-м узлами, то Yjij) =- 0. Для цепи, схема ксяорой приведена на рис. 4.4:

(12) = Yi2i) = -Y4J Y(23) = Y(32) = -Ym (З) = (31) = -Y. (4.18)

Узловым tOKOM Jio i-TO узла называется алгебраическая сумма токов всех источников тока, подключенных к данному узлу. Если ток какого-либо источника тока направлен к i-му узлу, То он

входит в со знаком плюс, если тОК направлен от f-ro узла, то он

входит в со знаком минус. ДлЯ рассматриваемой цепи

Ло =Л;Ло=о;«/зо=4 (4.i9)

Используя обозначения (4.17)-(4.19), представим узловые уравнения исследуемой цепи в канонической форме записи

г(2„ (JinY22,lJ-{-Yj 0 = J; (4.20)

Итак, левая часть любого узлового уравнения, составленного для <-го независимого узла, есть сумма членов, один из которых равен произведению узло-goro напряжения г-го узла на его собственную проводимость, а остальные - произведениям узловых напряжений других независимых узлов иа взаимные проводимости <-го узла и этих узлов. Правая часть каждого уравнения равна узловому току соответствующего узла.

Таким образом, составить узловые уравнения, как и контурные, можно непосредсгвенно по схеме электрической цепи. Написание уравнений электрического равновесия цепи по методу узловых напряжений упрощается еще за счет того, что не возникает необходимости определять систему независимых контуров и строить дерево графа.

Для линейной электрической цепи, имеющей т = q- 1 незави-мых узлов и состоящей только из сопротивлений, емкостей, индуктивностей и независимых источников тока, система узловых уравнений может быть записана в виде

(21) flo + (22) 20 + ---+(2m) imO = Ло (4.21)

(mm)

Uif)

-(0= JjO,

y(II) Y {12) Ylm) Y{2\) Y(22) •-Y(2m)

(4.22)

Y(ml) Y(m2)---Y(mm)

матрица узловых проводимостей цепи;

то .

l "mo J

матрицы-столбцы узловых напряжений и узловых токов.

Можно убедиться, что для цепей рассматриваемого типа всегда вы. полняется условие У(ф = Y(jiy, поэтому матрица узловых проводи.

мостей таких цепей квадратная и симметричная относительно главной диагонали.