Решая систему узловых уравнений любым из способов, определяют все неизвестные узловые напряжения. Так, используя формулы Крамера, найдем узловое напряжение -го узла:

0,0 =-*Ло-Ь*Ло+-+ --fo- (4.23)

Здесь Д - определитель системы уравнений (4.22); Ajs- алгебраическое дополнение элемента Jf(ift) этого определителя.

Если цепь содержит также независимые источники напряжения, то нх можно либо заменить на источники тока, либо составить для цепи систему узловых уравнений без такой замены.

Пусть в рассматриваемой цепи имеется рии независимых источников напряжения. Очевидно, что узловые напряжения двух узлов, между которыми включен независимый источник напряжения, отличаются только на э. д. с. этого источника. Поэтому число независимых узловых напряжений цепи уменьшается от q- 1 до р - р„л- 1, причем такие уравнения составляют только для узлов, напряжения которых выбраны в качестве независимых. Матрица узловых проводимостей цепи, содержащей независимые источники напряжения, будет не квадратной: число столбцов этой матрицы равно числу независимых узлов т - q- 1, а число строк - числу независимых узловых напряжений q-pm- 1- После формирования системы уравнений электрического равновесия цепи в виде (4.21), (4.22) члены, содержащие известные узловые напряжения, переносят в правую часть соответствующих уравнений.

В простейшем случае исследуемая цепь может содержать источников напряжения, имеющих общую точку. Выберем узел, к которому подключены все источники напряжения, в качестве базисного. Тогда узловые напряжения р„„ узлов, к которым подключены вторые полюсы источников напряжения, будут равны напряжениям этих источников, а систему узловых уравнений составляют только для узлов, к которым не подключены источники напряжения.

Пример 4.4. Используя метод узловых напряоюений, составим уравнения электрического равновесия цепи, схема которой приведена на рис. 4.2, а. Эта цепь содержит q - 1=3 независимых узла и имеет один источник напряжения Ё, включенный между базисным узлом и узлом 1. Узловое напряокение этого узла и,о известно и равно Е. Для определения неизвестных узловых напряжений Uio " 30 составляем два узловых уравнения

(31) Uio-+y(32) 20 + 2(33) 30= -J

Здесь К (22) = l/Zj + l/Zp + I/Z4, K(33) = I/Z4 + l/Ze - собственные проводимости узлов 2 и 3; /(3i, =0, K(2i) = -l/Zj, К(2з) = К(з2) = - !/£« - взаимные проводимости узлов рассматриваемой цепи.

Перенося члены, содержащие известное узловое напряжение = Е, в правую часть уравнений и выражая собственные и взаимные проводимости узлов через параметры элементов цепи, получаем

(1 /Zsj + 1 /£з + 1 /lio-dlli = ElZ,

-f>2o/24+ (1 /£4 + 1 /2,) 1/30 = •

Аналогичная система уравнений электрического равновесия цепи получается и в том слумае, когда источник напряжения Ё заменяют испючником тока Е17.1,< подключенным между узлом 2 и базисным (узел 1 в этом случае устраняет-сяГ

Метод узловых напряжений можно использовать и для анализа цепей с взаимной индуктивностью (при < 1), однако алгоритм формирования узловых уравнений в этом случае значительно усложняется.

Формирование уравнений электрического равновесия цепей с зависимыми источниками

При формировании уравнений электрического равновесия цепей с зависимыми источниками следует различать источники, управляемые током или напряжением какой-либо невырожденной, т. е. не содержащей источников тока и не составленной только из источников напряжения, ветви и источники, у которых управляющее воздействие не является током или напряжением какой-либо невырожденной ветви. Наличие в исследуемой цепи управляемых источников первого типа не накладывает никаких ограничений, на применение ранее рассмотренных методов формирования уравнений электрического равновесия цепи. Включение в цепь управляемых источников второго типа может существенно усложнить анализ и сделать невозможным применение тех или иных методов формирования уравнений электрического равновесия.

Рассмотрим методику формирования уравнений электрического равновесия цепей, содержащих зависимые источники, управляемые током или напряжением какой-либо невырожденной ветви. Для таких цепей источники, управляемые напряжением, можно преобразовать в источники, управляемые током, и наоборот. Пусть в исследуемой цепи имеются источники напряжения и тока, управляемые напряжением а-й ветви:

Ё =Ки„; J =5(;„, (4.24)

где /С и S - коэффициенты управления источникэв.

Используя компонентное уравнение а-й ветви, напряжение 0 в соотношениях (4.24) можно выразить через ток этой ветви /„, при этом источник, управляемый напряжением, преобразуется в источник, управляемый током. В простейшем случае связь напряжения и тока а-й ветви описывается законом Ома в комплексной форме

Oa=Zaia. (4.25)

Подставляя (4.25) в (4.24), получаем

Аналогичным образом можно преобразовать источники, управляемые током какой-либо ветви, в источники, управляемые напряжением этой же ветви.

При составлении основной системы уравнений электрического равновесия цепей, содержащих зависимые источники напряжения или тока рассматриваемого типа, эти источники учитывают в уравнениях, составленных на основании законов Кирхгофа, наряду с независимыми источниками, а затем токи и э. д. с. зависимых источников выражают через соответствующие управляющие воздействия. В связи с тем что управляющие воздействия представляют собой токи и напряжения ветвей цепи, в основной системе уравнений электрического равновесия цепи не появится новых неизвестных токов или напряжений. При формировании уравнений электрического равновесия цепи по методу токов ветвей токи и э. д. с. управляемых источников должны быть выражены через неизвестные токи ветвей, а при формировании таких уравнений по методу напряжений ветвей - через неизвестные напряжения ветвей.

Пример 4.5. Используя метод токов ветвей, составим уравнения электрического равновесия цепи (см. рис. 4.2, а) при условии, что ток источника тока является функцией напряжения ветви, содержащей индуктивность: J = SU3.

Задача решается в два этапа. На первом - формируют систему уравнений по методу токов ветвей, в которой ток источника J учитывается так же, как если бы это был ток независимого источника (см. пример 4.2):

-/i+/s = 0; ZJ. + ZihE; -h + l3+K = < -Z,/3+Z4/4-2./, = 0;

Ha втором - ток управляемого источника выражают через ток третьей .ветви J - 81/3= (2з5)/з и подставляют в полученную систему уравнений:

- -/i + /2 = 0; ZI + ZJE,

-/2 + /з-f /4 = 0; -£3 /з + Z, /4-Ze /в = 0;

-Л+£з5/з-/б = 0.

Таким образом получаем уравнения для определения пяти неизвестных токов ветвей, после решения которой и определения тока /3 находят ток управляемого источника и напряжения всех ветвей.

Методом контурных токов можно построить систему уравнений электрического равновесия цепи, содержащей зависимые источники напряжения, управляемые током. Если цепь содержит зависимые источники других типов, то они должны быть преобразованы в источники напряжения, управляемые током. При составле-