дения дополнительных вырожденных ветвей основную систему урав нений электрического равновесия преобразованных цепей составляют по расммотренным ранее правилам.

Если в цепи имеются источники, управляемые напряжением, которые не могут быть преобразованы в источники, управляемые током, то для составления уравнений электрического равновесия такой цепи нельзя воспользоваться методами токов ветвей и контурных токов; если в цепи имеются источники, управляемые током, которые не поддаются преобразованию в источники, управляемые напряжением, то для составления уравнений электрического равновесия оказываются неприменимыми методы напряжений ветвей и узловых напряжений.

На практике для формирования уравнений электрического равновесия используют тот из методов, в котором приходится определять меньшее количество независимых переменных. При р - р„т - q -\--f \ > q - рп„ - 1 рекомендуется применять метод узловых напряжений, в противном случае - метод контурных токов. Если количество решаемых уравнений окажется одинаковым, то предпочтение следует отдать методу узловых напряжений, в котором не требуется проведения трудоемкой {особенно для сложных, например непланарных, цепей) операции по выбору системы независимых контуров.

Использование рассмотренных методов, как правило, является целесообразным только в тех случаях, когда в результате анализа требуется определить все или значительное количество неизвестных токов или напряжений. Если надо определить реакцию цепи {ток или напряжение) только одной или небольшого количества ветвей, то упростить анализ цепи можно путем использования Mentodoe, основанных на применении важнейших теорем теории цепей {см. далее).

§ 4.2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ

Принцип наложения

Сформулированный в гл. 1 принцип наложения (суперпозиции) отражает важнейшее свойство линейных электрических цепей.

Это свойство состоит в том, что реакция таких цепей на произвольное внешнее воздействие, представляющее собой линейную комбинацию более простых воздействий, равна линейной комбинации реакций, вызванных каждым из простых воздействий в отдельности.

Из принципа наложения следует, что ток или напряжение любой ветви линейной электрической цепи, содержащей наряду с пассивными элементами зависимые и независимые источники тока и напряжения, равны сумме частичных токов или напряжений, вызванных действием каждого независимого источника в отдельности.

Пусть цепь содержит независимые источники только одного типа, например источники напряжения. Контурный ток произвольного контура этой цепи может быть определен из выражения (4.14). Представляя все входящие в это выражение контурные э. д. с. Ёц в виде

алгебраической суммы э. д. с. входящих в контур источников напряжений Ej и приводя подобные члены, получаем

/=1

Здесь - общее количество независимых источников э. д. с, входящих в состав цепи; Yjj - коэффициенты, представляющие собой алгебраические суммы слагаемых вида Дг/Д.

Так как Д и Дг определяются только параметрами матрицы контурных сопротивлений, т. е. параметрами пассивных элементов цепи и коэффициентами управления зависимых источников, то значения Yj не зависят от э. д. с. независимых источников напряжения. Каждое из слагаемых вида Fjf / можно рассматривать как частичный ток А-го контура, вызванный действием источника э. д. с. Ej.

Действительно, если все входящие в цепь независимые источники э. д. с, кроме Ej, выключены (заменены короткозамыкающими перемычками), то ток k-ro контура

/(/> = П£,. - (4.26)

Следовательно, контурный ток любого контура линейной электрической цепи, содержащей независимые источники напряжения, равен сумме частичных токов, вызванных действием каждого из независимых источников напряжения в отдельности:

V = 2 n.-.= ik- (4.27)

y=i /=1

Из анализа выражений (4.26), (4.27) вытекает физический смысл коэффициентов Yj - они представляют собой комплексные передаточные проводимости цепи от зажимов /-/, к которым подключен независимый источник напряжения Ej,k зажимам k-k, к которым подключена ветвь с током 4, причем каждая из комплексных передаточных проводимостей определяется в режиме, когда все независимые источники напряжения, кроме Ej, выключены.

Если линейная электрическая цепь содержит независимые источники тока, то используя выражение (4.23), можно показать, что узловое напряжение каждого узла такой цепи равно сумме частичных узловых напряжений, вызванных каждым из источников тока в отдельности. При определении частичного узлового напряжения k-vo узла, вызванного действием /-го источника тока, все остальные источники тока выключаются, т. е. ветви, содержащие эти источники, разрываются.

Пусть в рассматриваемой цепи имеется I независимых источников напряжения и т независимых источников тока. Присвоим ветвям, содержащим независимые источники напряжения, номера от 1 до /, а ветвям, содержащим независимые источники тока, от / -f 1 до / -f /п. Составляя уравнения электрического равновесия такой цепи метода-

ми контурных токов или узловых напряжений и решая эти уравнения с помощью формул Крамера, находим ток и напряжение й-й ветви

1 + т . i . 1+т

lm . I . f+m

/=1 /=1 / = ;+!

Здесь Gft,- = Gj- (/(1)), /С;,; = Khi ij) - комплексные коэффициенты передачи цепи по току и напряжению; = (уш), Zj = Zj (/w) - комплексные передаточные проводимости и сопротивления. Каждая из величин Ghj, Ки, Ypj и Zy определяется в режиме, когда все независимые источники, кроме источника, находящегося в /-й ветви, выключены, т. е. представлены своими внутренними сопротивлениями.

На принципе наложения основан широко используемый на практике метод анализа цепей - метод наложения. Его удобно применять в тех случаях, когда по условиям задачи требуется определить ток или напряжение одной из ветвей электрической цепи, в состав которой входит несколько независимых источников. В соответствии с принципом наложения искомый ток (напряжение) представляют в виде суммы частичных токов (напряжений). Для определения частичных токов (напряжений) используют эквивалентные схемы цепи, получаемые из исходной путем выключения всех независимых источников, кроме одного, вызывающего соответствующий частичный ток (напряжение). Таким образом, задача анализа сложной цепи, содержащей несколько независимых источников энергии, заменяется рядом более простых задач по исследованию цепей с одним независимым источником. Следует обратить внимание на то, что при определении частичных токов выключаются тольконезависимые источники тока или напряжения. Параметры зависимых источников учитываются в матрице узловых проводимостей или контурных сопротивлений и при определении частичных токов (напряжений) эти источники не выключаются.

Пример 4.8. Используя метод наложения, определим ток Ig электрической цепи, комплексная схема замещения которой приведена на рис. 4.2, а.

В соответствии с принципом наложения представим ток Д в виде суммы двух частичных токов и Z), вызванных действием источника напряже-

ния Е и источника тока J соответственно. Эквивалентные схемы для определения частичных токов приведены на рис. 4.9, а, б. Используя эквивалентные преобразования участков цепей со смешанным соединением элементов, определим частичные токи:

/()=- £з E/(Z2 23+ (Z24 Z3) (Z,+ Ze)]; /2) = [Z2Z3 + Z4 (Z2 + Z3)] >/[Z2 Z3+ (Z2+Z3) (Z, + Ze)], a затем, суммируя их, найдем искомый ток

>в = > + = {[£2 Z3+Z, (Zj + Z3)] / -£з £} /[Za Z3 + (£2 + Z3) (£,+£,)].