значениям коэффициентов Ко и Ki линейного уравнения (5,4), связывающего между собой значения вспомогательных переменных X и Y. Составляя уравнение прямой линии, вдоль которой располагаются точки Xj, Yj, и сравнивая его с уравнением, описывающим зависимость между вспомогательными переменными, которое соответствует проверяемой гипотезе о виде функции у (х) [например, с уравнениями (5.6), (5,8) или (5.11)1, находим значения искомых коэффициентов.

Пример 5,7. Определим значения коэффициентов экспоненциального полинома i = ае""с, аппроксимирующего ВАХ кремниевого диода (см. рис. 5.20, а) в диапазоне напряжений от О до 1 В.

Возможность аппроксимации ВАХ, приведенной на рис. 5.20, экспоненциальным полиномом указанного типа была показана в примере 5.6. Там же было найдено числовое значение коэффициента с. Составим уравнение прямой (рис. 5.21), на которой в рассматриваемом диапазоне изменения аргумента располагаются точки Xj, Yj:

(Y - Y,y{Y, - У,) - (X - X,)/(X, - X,),

Здесь Xj, Fl и Xj, F2 -координаты двух любых точек, через которые проходит данная прямая. Выбирая Х, = 0,2, К, -0,95 и Х = 1, Fj = -0,42, получаем уравнение прямой в следующей форме:

Y == 0,66Х - 1,08,

Сравнивая это выражение с выражением (5.11), получаем соотношения для определения неизвестных значений коэффициентов а и Ь:

Ig а = -1,08; 6 Ig е = 0,66,

откуда а ---- 0,082, Ь = 1,52.

Таким образом, в диапазоне от О до 1 В рассматриваемая ВАХ может быть аппроксимирована выражением, мА,

/ =0,082 (е""- 1).

На практике для аппроксимации характеристик нелинейных элементов в основном используют степенные полиномы

у ао+ а,х + ах + ... + ах" (5.14)

и кусочно-линейные функции. Аппроксимация с помощью степенного полинома универсальна и позволяет повышать точность расчета путем увеличения степени полинома.

Любые аппроксимирующие функции могут быть разложены в степенные ряды и приведены к виду (5.14). Поскольку сложность определения значений коэффициентов аппроксимирующей функции возрастает с увеличением числа членов полинома, для аппроксимации ВАХ г „о ,л

обычно urtt,, „„„„ Рис. 5.22. Кусочно-линейная аппроксима-

низ™° . У"?? полиномы выходных (а) н проходных (б) ха-

ни jkhx степенен. Часто для ап- рактеристик полевого транзистора

проксимации ВАХ применяют неполные (укороченные) полиномы, т. е. полиномы, не содержащие членов некоторых степеней. Так, если ВАХ нелинейного элемента проходит через начало координат, то в полиноме (5.14) отсутствует член нулевой степени (oq ---= 0). Симметричные ВАХ описываются нечетными полиномами, т. е. полиномами, содержащими члены только нечетных степеней.

Аппроксимация с помощью кусочно-линейных функций заключается в разбиении рабочей области аппроксимируемой функции иа несколько участков (интервалов) и замене функции на каждом из них отрезком прямой. С увеличением количества интервалов точность аппроксимации возрастает, однако для упрощения анализа цепи желательно использовать кусочно-линейные функции с минимальным числом интервалов. Примеры кусочно-линейной аппроксимации ВАХ представлены на рис. 5.22.

Аппроксимация вольт-амперных характеристик в окрестности рабочей точки

На практике часто приходится иметь дело с рабочей областью ВАХ настолько узкой, что можно считать, что изменение токов и напряжений происходит только в окрестности некоторой рабочей точки. В таких случаях нет необходимости аппроксимировать ВАХ в широком диапазоне токов и напряжений, а достаточно ограничиться аппроксима-1Шей лишь в окрестности выбранной рабочей точки.

Пусть ток и напряжение некоторого нелинейного резистивного элемента в рабочей точке равны (р и «р. Значение тока i этого элемента, соответствующее некоторому новому значению напряжения и Up --+ Аи, можно представить в виде ряда Тейлора

= ("р) + - i{u,)Au+-L Г («р)(Д«)Ч-.... (5.15)

Здесь ( («р) = /р - значение тока в рабочей точке, / (Up), i" («p) - значения производных тока по напряжению в рабочей точке, определяемые либо по заданной функции i = / (и), аппроксимирующей ВАХ в широком диапазоне токов и напряжений, либо по табличным значениям, функции ij (uj) с помощью формул численного дифференцирования:

"/+.-",--1

(«/+.-«;)

Вводя обозначения = i (Ир) = ai = [у i («p); «2 = t" (up);

выражение (5.15) можно представить в виде полинома относительно приращений напряжения

1 = а„ + а,Аы + aj (Аи) + ... (5.16)

Как правило, при аппроксимации ВАХ нелинейных резистивных элементов в окрестности рабочей точки используются полиномы низких степеней, причем в большинстве случаев, когда приращения напряжения А« = « - Ыр и тока Дг = / - tp весьма малы, можно ограничиться полиномом первой степени

t = а„ + fliAu. (5.17)

Таким образом, вольт-амперные характеристики нелинейных резистивных элементов могут быть линеаризованы в окрестности выбранной рабочей точки.

§ 5.4. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЗИСТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВНЕШНЕМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Нелинейное сопротивление при гармоническом воздействии

Ранее, при рассмотрении графических методов анализа нелинейных цепей, было показано, что реакция нелинейного резистивного элемента на гармоническое внешнее воздействие в общем случае не является гармонической функцией времени. Так как графические методы анализа позволяют установить только качественное соответствие между видом ВАХ нелинейного резистивного элемента и реакций этого элемента на заданное гармоническое воздействие, то для получения количественных соотношений необходимо воспользоваться аналитическими методами.

Пусть ВАХ некоторого нелинейного сопротивления может быть аппроксимирована полиномом л-и степени

y=a+aiXa2x + ...+a„x а, , (5.18)

а внешнее воздействие х х (t) является гар.монической функцией времени

X - X,nCos ait. (5.19)

Подставляя (5.19) в (5.18) и выражая слагаемые вида а,, lXmCO.« (йЛ* через гармонические функции кратных частот

a2[X„cosw/p= (1-fcos 2(й/];

аз [Xcosw/f =-[3cosw/ + cos3w/l; 4

[Х„ cos ш/]* = \3 + 4 cos 2ю/ +cos Ш\; (5.20)

«5 [Хт cos со/]» == [ 10 cos 4/ + 5 cos 3(0/ -f cos 5w/ и т. д,

получаем \

i/i- i VmhCOSfeo)/, (5.21)