Следует иметь в виду, что порядок сложности цепи зависит также от соотношений между параметрами входящих в нее элементов, поэтому выражение (6.4) позволяет оценить только максимально возможное значение порядка сложности цепи (в том числе и цепи с управляемыми источниками).

Пример 6.3. Определим порядок сложности цепи, схема которой приведена на рис. 6.3, а.

Преобразуя участки цепи, содержащие последовательно и параллельно включенные однотипные реактивные элементы (рис. 6.3, б), определяем общее число реактивных элементов цепи PiQ = 6. Рассматриваемая цепь содержит один емкостной контур, образованный емкостями С, Сэк] " источником напряжения е, и одно индуктивное сечение (индуктивности L,, L., I.3ki). поэпюму порядок сложности данной цепи не может превышатв четырех.

§ 6.2. классический метод анализа переходных процессов

Свободные и принужденные составляющие токов и напряжений

Классический метод анализа переходных процессов в линейных инвариантных во времени цепях с сосредоточенными параметрами основан на классическом методе решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Как известно, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами [см. (1.61)1

a„+av-,--+-...+a,4L + a„y=/(0

равно сумме частного решения этого уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения

flv+flv-i ""f +...+а,-+а,у = 0, (6.5)

dt" dt"- dt

которое получается из (1.61) при /(0 = 0.

Общее решение однородного дифференциального уравнения (6.5) характеризует так называемые свободные процессы в цепи, т. е. процессы в цепи после коммутации в отсутствие внешних источников энергии (напомним, что функция / (t) обращается в нуль при выключении всех независимых источников тока и напряжения).

Таким образом, характер свободных процессов не зависит от вида внешнего воздействия на цепь, а определяется только параметрами пассивных элементов и линейно управляемых источников, а также топологией цепи после коммутации.

Свободные процессы в цепи протекают за счет разности энергий, соответствующих установившимся режимам работы цепей до и после коммутации. В связи с тем что эта разность имеет конечное значение,

свободные процессы в цепях с потерями с течением времени затухают (в идеализированных цепях без потерь свободные процессы имеют незатухающий характер).

Частное решение уравнения (1.61) определяет принужденный режим работы цепи, т.е. режим, задаваемый действующими в цепи независимыми источниками энергии.

Если внешнее воздействие иа цепь после коммутации изменяется по периодическому закону (сохраняет неизменное значение), то частное решение уравнения (1.61) характеризует установившийся режим цепи после коммутации.

Итак, при использовании классического метода анализа переходных процессов искомая реакция цепи у (ток или напряжение какой-либо ветви после коммутации) представляется в виде суммы свободной i/cB и принужденной составляющих:

У = Уск + Упр-

Свободная составляющая реакции цепи с течением времени затухает lim г/cu = О, поэтому принужденная составляющая реакции пред-

ставляет собой установившееся значение искомого тока или напряжения после коммутации г/пр = Пт у.

Для определения принужденной составляющей реакции цепи можно воспользоваться рассмотренными ранее методами анализа линейных цепей в установившемся режиме. Если после коммутации токи всех независимых источников тока и напряжения всех независимых источников напряжения не изменяются, то с течением времени в цепи после коммутации установится режим постоянного тока. Очевидно, что принужденная составляющая реакции цепи в этом случае будет являться постоянным током или напряжением.

Если после коммутации цепь находится под гармоническим воздействием определенной частоты, то принужденная составляющая реакции цепи также будет гармонической функцией времени и для определения г/пр можно воспользоваться методом комплексных амплитуд.

Если цепь после коммутации находится под воздействием нескольких источников гармонических колебаний различной частоты, то, используя принцип наложения, мгновенное значение г/пр можно найти как сумму мгновенных значений частичных токов или напряжений, вызванных в установившемся лосле коммутации режиме каждым из источников в отдельности. Применяя принцип наложения, можно найти принужденную составляющую реакции цепи и тогда, когда внешнее воздействие на цепь х (t) описывается периодической функцией более сложного вида, удовлетворяющей условиям Дирих-л е, т. е. имеющей на конечном интервале конечное число максимумов и минимумов и конечное число разрывов первого рода. В этом случае функция X (О может быть разложена в ряд Фурье (представлена в виде суммы гармонических колебаний кратных частот), а мгновенное значение у„р может быть найдено как сумма мг?10венных значений частичных токов или напряжений, вызванных в установившемся после ком-

мутации режиме каждой из гармонических составляющих внешнего воздействия в отдельности.

Для определения свободной составляющей Усв реакции цепи необходимо найти v корней р, характеристического уравнения

ар"-- +av-i p--f-..+aiP + ao=0, (6.6)

соответствующего однородному уравнению (6.5). Когда все корни урав-нения (6.6) простые (различные), свободная составляющая реакции имеет вид

l/cB=e + 4ePa4... +Лv.ev=2 Ле";, (б.у)

т. е. каждому простому корню /?, соответствует слагаемое свободной составляющей вида

,,(0 л pPit Уев - Л; е ,

где Ai-постоянная интегрирования.

Если какой-либо корень характеристического уравнения (6.6) имеет кратность п, то этому корню соответствует слагаемое свободной составляющей вида

Ув=(Л,+ Л,/ + Лз/ + ...+Л,-1)е* = е*2 у-- (6-8)

/=--1

Характеристическое уравнение (6.6) может иметь вещественные или комплексные корни, причем все корни /?; характеристического уравнения линейной цепи, составленной из идеализированных пассишых элементов и независимых источников энергии, расположены в левой полуплоскости комплексного переменного р (включая и мнимую ось): Re [pi\ О, так как только в этом случае свободные процессы в цепи пмеют затухающий (точнее, ненарастающий) характер.

Общая схема применения классического метода анализа переходных процессов

Наметим основные этапы классического метода анализа переходных процессов в линейных инвариантных во времени цепях с сосредоточенными параметрами.

1. Анализ цепи до коммутации.В результате этого анализа определяют токи индуктивностей и напряжения емкостей з момент времени, непосредственно предшествующий коммутации (/= = 0 ).

2. Определение независимых начальных условий. Независимые начальные условия представляют собой токи индуктивностей и напряжения емкостей в момент времени (t - 0+). Независимые начальные условия находят с помощью законов коммутации или принципа непрерывности потокосцепления и электрического заряда цепи.