дическим обменом энергией между емкостью и индуктивностью, а затухание колебаний объясняется потерями энергии в сопротивлении.

Расположение корней pi, р характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного р и зависимость тока цепи от времени показаны на рис. 6.6, б. Корни характеристического уравнения расположены симметрично относительно действительной оси в левой полуплоскости на полуокружности с радиусом, численно равным резонансной частоте последовательного колебательного контура ю,. Чем меньше коэффициент затухания б, тем ближе к мнимой оси расположены корни уравнения, меньше различие между сосв и Юо и медленнее затухание свободных процессов. В пределе, при 6 = 0, корни характеристического уравнения располагаются на мнимой оси, частота свободных колебаний совпадает с резонансной частотой цепи, а колебательные процессы в цепи носят незатухающий характер (рис. 6.6, в). Таким образом, резонансная частота RLC-ufinn численно равна частоте свободных колебаний в цепи, когда коэффициент затухания б равен нулю.

Пунктирными линиями на рис. 6.6, б показаны кривые ± (О, которые характеризуют закон изменения амплитуды тока во времени. Эти кривые называются огибающими. Величина, численно равная длине подкасательной к огибающей тока, т = 1/6 = 2L/R называется постоянной времени последовательной i?LC-цепи. Очевидно, что за промежуток времени t - -г ордината огибающей тока уменьшается в е раз. Скорость затухания свободных процессов в рассматриваемой пени может быть охарактеризована также логарифмическим декрементом колебаний 6, который равен натуральному логарифму отношения двух максимальных значений тока, взятых через период свободных колебаний Тсв = 2л;/юдв =

Находя натуральный логарифм отношения ординат огибающих тока для ti > О и t-i + Гсв, можно прийти к выводу, что логарифмический декремент колебаний ие зависит от выбора ti, а определяется только добротностью цепи Q:

е = 1п-J!dlu-==.67,, (6.31)

т(1 + 7св) Ka)S-6=

Анализ выражения (6.31) показывает, что логарифмически! декремент колебаний равен нулю при б = О (Q = оо) и обращается в бесконечность при 6 = Шо (Q - 1/2)-

Кратные корни. При Q = 1/2, т. е. при = 2р и 6 = со,, характеристическое уравнение последовательной /?ЬС-цепи имеет два одинаковых вещественных корня Pi = Р2 = - f>, расположенных на отрицательной вещественной полуоси в плоскости комплексного переменного р (рис. 6.6, г). Как следует из выражения (6.8), общее решение дифференциального уравнения (6.24) при t > О в этом случае имеет вид

i=c,,{Ai + A,t)e-. (6.32)

Определяя с помощью зависимых начальных условий (6.25) и (6.26) значения постоянных интегрирования Л, = О, .4j = EIL и подставляя их в выражение (6.32, получаем окончательно

Как и для вещественных различных корней, переходный процесс в цепи при одинаковых вещественных корнях имеет апериодический характер (рис. 6.6, г), поэтому условие Q = 1/2 является предельным условием существования в цепи апериодических свободных процессов. Режим работы цепи на границе между колебательным и апериодическим характерами переходных процессов называется критическим.

Итак, характер переходных процессов в последовательной пол-

иостью определяется расположением корней характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного.

Зарисимость характера переходных процессов от расположения корней характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного присуща не только последовательной RLC-иттл, она является общим свойством линейных электрических цепей любого порядка сложности.

Подключение к последовательной /?£С-цепи источника гармонического напряжения

Рассмотрим важный для практики случай включения источника гармонического напряжения в последовательную iLC-цепь с высокой добротностью (Q > 1/2). Свободные процессы в такой цепи, как было установлено ранее, имеют колебательный характер. Пусть идеализированный источник напряжения включен в цепь в момент времени / 0, причем примем, что мгновенное значение э.д.с. этого источника при / = О равно нулю (lj) = - jt/2). Уравнение электрического равновесия такой цепи после коммутации, составленное по методу токов ветвей, имеет вид

+ + uc{Q+) -\-Ш = Етт(л1, (6.33)

а дифференциальное уравнение цепи

, d JL+J i==„£cosa)/. (6.34)

dt С

Для решения уравнения (6.34) необходимо определить начальные

dt Io-H-

значения тока цепи i (0+) и его первой производной по времени -г ;=р

Используя независимые начальные условия

"с (0J = Uc (0 ) = 0; (0J = tz, (0 ) = О

О* 291

и уравнение электрического равновесия (6.33), получаем

i(0+) = iL(0+)=0;

t=o

= 0.

Далее, суммируя составляющие тока

inp ==/m пр cos {(ot ф) =/,„ пр sin (ш-ф); icB =Л е-(«-*св) + Л2 е-(*+"*св) находим общее решение уравнения (6.34) при t > 0:

i = „р sin (ш-ф) + [Лх е-св + А, е-/"свe"**.

(6.35)

(6.36) (6.37)

(6.38)

Здесь Imnp = £mK + («- - 1/шС) - амплитуда принужденной составляющей тока; ф = arctg --- аргумент комплексного входного сопротивления рассматриваемой цепи.

Для определения постоянных интегрирования Ai, А2 продифференцируем правую и левую части (6.38)

=со1 „р COS (03-ф)- А, (б,-уЧ,) е-*-"-)

-4(б+уЧв)е"(+"в) (6.39)

и подставим в выражения (6.38) и (6.39) зависимые начальные условия (6.35). Решая полученную таким образом систему уравнений относительно Ai и Л2. находим

(б4-/мсв) sin ф-й) cos ф J

2/сОсв

тпр>

О) COS <р-(6-/Юсв) sin ф J

2/й)св

тпр-

(6.40)

С учетом соотношений (6.40) выражение (6.37) для свободной составляющей тока может быть преобразовано к виду

«ев= -±-51Пф +

sin ф

Ю COS ф

«СБ

X---1/ире-« =sШфCOS(йeв

sin ф

О) COS ф

«св

sin (йов t

т пр

»-6(

(6.41)

Предположим, что частота а> внешнего воздействия близка к частоте (йсв свободных колебаний, а добротность Q настолько велика, что й)св практически совпадает с резонансной частотой цепи т. С учетом этих допущений, которые незначительно уменьшают общность получаемых результатов, выражение (6.41) существенно упрощается:

.св = (sin ф cos «0- cos ф sin «,0 /тпр е-*

= - /тпр е-* sin (ш, - ф).