Если начальное значение функции а (t) равно нулю а (0+) = О, то диффе-ренцированию функции а {t) соответствует умножение изображения этой функции на р (теорема дифференцирования)

da (t)

=:рА{р)- (6.51)

при а (0+) ф О

da (О

= рА (р)-а(О-).

(6.52)

Повторным применением теоремы дифференцирования, можно получить выражения для производных высших порядков;

d а (t) da (t)

- = р[рЛ(р)-а(о+)] --

= р2 Л (р)-ра(О)-

da (t)

dt"-

ft- 1

( = 0+: a{t)

•к -I

( = 0

Интегрированию функции времени в пределах от О до / соответствует деление изображения этой функции на р (теорема интегрирования:

/ а (t) dt==A (p)lp- (6.53)

смещению функции времени на t соответствует умножение изображения на е""» (теорема запаздывания):

a(t-t,)= t-<>* А(р), (6.54)

а смещению изображения А (р) в комплексной плоскости на комплексное число к соответствует умножение оригинала на е" (теорема смещения):

е-"а(/) = Л(р-1-Я).

Значения функции времени при i = О и - оо могут быть найдены с помощью предельных соотношений

а (/==0) = 1!тп рА (р);

р->ч» Rep>0

а (t= оо)= lim рА (р)

предполагается, что соответствующие пределы существуют).

Если изображение А (р) может быть представлено в виде отношения двух полиномов от р, не имеющих общих корней:

А (р) =

a„p"+a„ iP" 4-...+aiP + a„

М(Р) brr, р"+ b ip"- + ...+biP + bo

(6.55)

причем степень полинома М (р) выше, чем степень полинома (р), а уравнение

Af (р) = О (6.56)

не имеет кратных корней, то для перехода от изображения к-оригиналу можно воспользоваться теоремой разложения

ЛЧ£1У ЛMP*L e.. (6.57)

м (р) т

где pk - корни уравнения (6.56).

Теорема разложения может быть сформулирована также для случая, когда уравнение (6.56) имеет кратные корни, и может быть распространена на случай, когда А (р) является произвольной мероморфной функции р, т. е. функцией, не имеющей иных особых точек, кроме полюсов [7].

Как известно, преобразование Лапласа лежит в основе операторного метода решения линейных дифференциальных уравнений, разработанного в середине прошлого века русским математиком М. Е. Ва-щенко-Захарченко. Независимо, но значительно позднее известный английский ученый О. Хевисайд применил операторный метод к анализу переходных процессов в электрических цепях с сосредоточенными и распределенными параметрами. Значительный вклад в развитие и обоснование операторного метода внесли советские ученые К. А. Круг, В. С. Игнатовский, А. М. Эфрос, А. М. Данилевский, А. И. Лурье, М.И. Конторович и зарубежные ученые Д. Р. Карсон, Я. Микусин-ский, Б. ван дер Поль, П. Леви.

При использовании операторного метода решения дифференциальных уравнений неизвестные токи и напряжения ветвей электрической цепи, а также заданные токи и напряжения независимых источников заменяют их операторными изображениями. При этом система интегро-дифференциальных уравнений электрического равновесия, составленная относительно мгновенных значений токов и напряжений ветвей, преобразуется в систему алгебраических уравнений, составленных относительно операторных изображений соответствующих токов и напряжений. Решая эту систему уравнений, можно найти изображения искомых токов и напряжений ветвей электрической цепи после коммутации. Далее, применяя обратное преобразование Лапласа, можно перейти от изображений искомых токов и напряжений к оригиналам.

Уравнения электрического равновесия цепи в операторной форме. Операторные схемы замещения идеализированных двухполюсных элементов

• Итак, используя преобразование Лапласа, каждому уравнению, входящему в систему уравнений электрического равновесия цепи, можно поставить в соответствие уравнение, составленное относительно операторных изображений токов и напряжений. Уравнениям баланса мгновенных значений токов и напряжений соответствуют уравнения баланса операторных изображений токов и напряжений, а компонентным уравнениям, описывающим соотношения между мгновенными значениями токов и напряжений отдельных ветвей, соответствуют уравнения, связывающие операторные изображения токов и напряжений тех

же ветвей. Вследствие того что изображение суммы функций времени равно сумме изображений этих функций (6.50), для перехода от уравнений баланса мгновенных значений токов и напряжений ветвей к уравнениям баланса операторных изображений токов и напряжений достаточно в уравнениях (1.37), (1.40) заменить мгновенные значения токов и напряжений их операторными изображениями

2/й(/)-0; (6.58)

2ft(/) = 0. (6.59)

Если уравнения баланса напряжений формировались относительно мгновенных значений напряжений отдельных элементов (1.42), то в операторной форме эти уравнения принимают вид

2 ,(/7) =2 £,-(/>). (6.60)

Уравнения (6.58) и (6.59) или (6.60) будем называть уравнениями баланса токов и напряжений в операторной форме, а операторные изображения токов и напряжений - о п е р а т о р н ы м и токами и напряжениями.

По аналогии с ранее рассмотренными понятиями комплексного входного сопротивления Z = Z (/со) и комплексной входной проводимости Y - Y (/(й) введем понятия операторного входного сопротивления Z (р) и операторной входной проводимости Y (р).

Операторным входным сопротивлением пассивного линейного двухполюсника называется отношение операторного напряжения на входе двухполюсника к операторному току при нулевых начальных условиях

Z{p) и {р)11 (р), (6.61)

где I (р) i (t) и и (р) = и (t) - операторные изображения тока и напряжения на входе некоторого пассивного двухполюсника при / > О и нулевых начальных условиях.

Величина, обратная Z (р), называется операторной входной проводимостью

Y{p)= 1/Z ip) 1{р) Ш (р). (6.62)

Операторное входное сопротивление и операторная входная проводимость пассивного линейного двухполюсника, подобно его комплексному входному сопротивлению и комплексной входной проводимости, ие зависят от интенсивности внешнего воздействия и определяются только параметрами входящих в двухполюсник идеализированных пассивных элементов и схемой нх соединения.

Как следует из выражений (6 .61), (6.62), каждому пассивному линейному двухполюснику при нулевых начальных условиях может быть поставлена в соответствие операторная схема замеш,е-н и я, на которой рассматриваемый двухполюсник представляется сво-