Глава 4

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ 4.1. Предмет изучения теории телетрафика

В переводе с греческого «теле» означает «далеко» и с латинского «трафик» - «перевести». Теория телетрафика представляет собой общетехническую дисциплину, изучающую методы анализа и оптимального синтеза структурно-сложных систем коммутации для передачи речи и данных, а также систем управления.

Основоположником теории телетрафика является датский ученый A.K.Erlang. Основные его работы появились в 1909-1920 гг. Примерно в это же время опубликовал свои работы Т. Engset. В 30-е годы трудами советских математиков А.Н.Колмогорова, А.Я.Хинчина и А.А.Маркова были заложены основы современной теории случайных процессов. Основопологающую работу по исследованию колебаний нагрузки в 40-е годы провел щведский ученый С. Palm.

Впоследствии фундаментальные результаты получены зарубежными учеными: C.Clos заложил основы построения неблокирующих коммутационных схем; V.E.Benes и Е.Юетгоск выявили важнейшие вероятностно-временные характеристики структурно-сложных систем массового обслуживания; A.Lotze, C.A.Jacobaeus и C.Y.Lee провели исследование пропускной способности многозвенных коммутационных систем.

Исследование структурно-сложных систем коммутации провели советские ученые Г.П.Бащарин и В.И.Нейман. Систематизацию и дальнейшее развитие теории телетрафика заложили Б.С.Лившиц, А.Д.Харкевич, М.А.Шнепс, Я.В.Фидлин. Важные результаты в теории построения сетей связи получили В.Н.Рогинский В.Г.Лазарев, Г.П.Захаров.

4.2. Потоки вызовов, время обслуживания

Детерминированный поток вызовов - последовательность вызовов, в которой вызовы поступают в определенные, строго фиксированные неслучайные моменты времени. Детерминированный поток вызовов может задаваться

- в явном виде моментами поступления вызовов t„, (п1,2,...);

- в виде рекуррентной последовательности t„=f (t„ - 1);

- в виде последовательности промежутков между вызовами z„.

Случайный поток вызовов - последовательность вызовов, в которой моменты поступления вызовов и промежутки между вызовами являются случайными величинами.

Случайная величина описывается функцией распределения F(t)=P(x<t), определяющей вероятность того, что случайная величина х расположена в промежутке 0<=x<t.

Однородный поток вызовов характеризуется только законом поступления вызовов.

В неоднородном потоке вызовов каждый вызов характеризуется двумя и более характеристиками, например, моментом поступления вызова и его направлением.

Рекуррентным потоком вызовов называется поток, у которого промежутки времени между соседними вызовами независимы друг от друга и распределены по одинаковому закону.

Поток вызовов является стационарным, если число вызовов, поступивших за промежуток времени Dt, зависит только от длительности этого промежутка времени Dt и не зависит от нахождения этого промежутка на оси времени t.

не зависит от to, т.е. от прошлого. Поток вызовов является потоком без последействия, если вероятность поступления вызовов за некоторый промежуток времени t не зависит от процесса поступления вызовов до этого промежутка.

Поток вызовов является ординарным, если вероятность поступления двух и более вызовов за бесконечно малый промежуток времени есть величина более высокого порядка малости, чем вероятность поступления одного вызова, т.е.

lim - =0, при к>2.

t-* г

В теорий распределения информации часто используется простейший поток вызовов. Простейшим потоком вызовов называется ординарный стационарный поток без последействия. Простейший поток вызовов обычно задается вероятностью поступления к вызовов за время t (формулой Пуассона)

где параметр X - интенсивность поступающего потока вызовов численно равен количеству вызовов, поступающих за единицу времени. Функция распределения промежутков времени между вызовами - вероятность поступления хотя бы одного вызова:

Математическое ожидание или, что то же самое, среднее время промежутка между вызовами

со со 4

M[t]=\td(\-e-") = -\tde-" =-,

дисперсия и среднеквадратическое отклонение

Dlt]= ](t-Udil-e-") = , 5 = y/D[t] = Я -.

Симметричным потоком называется поток с простым последействием, параметр которого в любой момент времени зависит только от числа обслуживаемых в этот момент времени вызовов.

Из теории вероятностей известно соотношение

Р{АгВ) = Р{В)Р{А1В)

откуда

<->=

Если произошло событие, подчиняющееся экспоненциальному распределению, уже наступило и длится время to, то вероятность его дальнейшего течения за время t

4.3. Нагрузка, потери, пропускная способность

Нагрузка есть суммарное время обслуживания вызовов за фиксированное время t. Единица измерения нагрузки - часо-занятие.

Нагрузка обладает аддитивным свойством Y(t J + т) = Y(t) + Y(t + т).

Интенсивность нагрузки - нагрузка обслуженная в течение часа. Единица измерения - часо-занятие/час = Эрланг.

В теории распределения информации часто для краткости интенсивность нагрузки называют нагрузкой.

Блокировка - событие, состоящее в невозможности обслуживания вызова в момент его поступления. Следствием блокировки является отказ в обслуживании некоторых вызовов, поэтому различают поступающую нагрузку Yo, обслуженную нагрузку Ys и потерянную нагрузку Yp.

В зависимости от принятой стратегии блокированные вызовы могут удаляться из дальнейщего обслуживания (системы с явными потерями), ставиться на ожидание (системы с условными потерями), ставиться на обслуживании на определенных условиях (система с комбинированными потерями).

В системе с явными потерями различают потери по времени р,, потери по вызовам рс, потери по нагрузке Ру.

Потери по времени численно равны доле времени dt, в течение которого появляются блокировки, к общему времени обслуживания Г

р, = dt/T

Потери по вызовам численно равны доле заблокированных вызовов c(dt) за время dt к числу поступивщих вызовов за общее время обслуживания Т

Рс = c(dt)/c(T).

Потери по нагрузке численно равны отнощению потерянной нагрузки к поступивщей

Ру = y(dt)/yCO.

Примитивным называется такой симметричный поток, параметр которого прямо пропорционален числу свободных в данный момент источников X,i=(n-/)a, где и - общее число источников вызовов, а- параметр потока источника в свободном состоянии.

Время обслуживания в теории распределения информации обычно задается функцией распределения времени обслуживания вызова

Я(0 = 1-е"", />0, 0< <оо,

где параметр ц - интенсивность обслуживания вызова численно равен количеству обслуживаемых вызовов за единицу времени.

Математическое ожидание или, что то же самое, среднее время обслуживания, дисперсия и среднеквадратическое отклонение

M{t] = ]td{\-e-") = - = t„ D[q n -\ 5, = = t,

ЗАДАЧА 1. Определить вероятность поступления 5-и вызовов за 10 минут при поступлении простейшего потока вызовов с параметром Х,=180 час". Решение.

, ✓ (18 0 1) 3 0