[F]=--[F -1]= П--[0].

i=0 М ,41

Из условия нормировки [а: ] = 1, находим

а затем

[0] =

х=0 j=0 И J+1

.0... zn

jc=0 у=0 J+1

x=O...V.

Для классификации систем массового обслуживания применяют обозначения Кендалла в виде A/B/V/K/N. Здесь позиция А обозначает вид поступающего потока вызовов (М-пуассоновский поток вызовов), позиция В - вид времени занятия {М -экспоненциальное, D - постоянное, G - произвольное), V- число обслуживающих приборов, К- общее число обслуживающих приборов и мест ожидания, N - число источников нагрузки. Если какой -либо параметр не указан, то по умолчанию он принимает значение оО.

ЗАДАЧА 1. Время занятия подчинено экспоненциальному распределению с параметром Ь. Пучок находится в состоянии {х}. Определить вюятность того, что за время t: 1) освободятся все линии пучка, 2) не освободится ни одной линии, 3) освободится хотя бы однв линия.

Решение.

1) (\-е-У,

2) ё

3) 1-е

4.5. Полнодоступный пучок в системе с потерями Модель Эрланга (М/М/ V/K, K=V)

4.5.1. Дискретное распределение Эрланга (A.K.Erlang)

В системах распределения информации больщой емкости, когда число источников нагрузки велико, а параметр потока от одного источника мал, поведение одного источника (наличие или отсутствие от него вызовов) мало влияет на суммарный поток вызовов. В этом случае суммарный поток вызовов является практически постоянной величиной и не зависит от состояния {jc} {x=0,l,...V)- Такой поток называется простейшим. Для него Я.о= Я,1 = ... = =

Модель Эрланга для расчета вероятности потерь справедлива при предположениях:

- вызовы, поступающие на вход системы, образуют пуассоновский поток постоянной интенсивности с параметром А,;

- длительность занятия подчиняется экспоненциальному распределению с параметром ц;

- вызов, не принятый к обслуживанию в момент поступления, теряется, не влияя на моменты поступления последующих вызовов;

- любой из V выходов пучка доступен, когда он свободен, для любого поступающего вызова;

- исходной для расчета является поступающая нагрузка;

- система находится в стащюнарном режиме.

Подставляя значения параметров и в формулы (4.4.1) вероятностей процесса рождения и гибели, получим

(А ijuY

[0], x0.1....V. (4.5.1)

где А = Уух. - поступающая нагрузка нового рода. Финальная вероятность

{V] = Ey(,A)=

определяет потери по времени в полнодоступном пучке и носит название первой формулы Эрланга.

В модели Эрланга потери по времени, вызовам, нагрузке - совпадают, параметр потерянного потока - "к Еу{А), потерянная нагрузка - АЕу(А) .

Прямой расчет формулы Эрланга во многих практических случаях невозможен из-за переполнения разрядной сетки вычислительного устройства (при больших значениях А и V). Поэтому для ее расчета пользуются рекуррентным соотношением

Еу(А)= (4.5.2)

V +AEy i(A)

последовательно вычисляя £;(.), EiA), ... Ег.,(А), ({у), при начальном значении £о(-)=1-Среднее число занятых линий

= А{\-Еу(А)).

Следует запомнить:

ЕМ)-и Еу(0)0, Е,{0) = 0.

ЗАДАЧА 1. Вывести рекуррентную формулу Эрланга . Решение.

А .А-.

1 V

Еу{А)

A/V !

V +АЕу ,{А)

АЕу М) ЛЕу М)

ЗАДАЧА 2. На полнодоступный пучок емкостью У=Ъ поступает нагрузка первого рода интенсивностью А=6 Эрл. Определить распределение стационарных вероятностей иучш. Решение. Используем (4.5.1):

Из нормирующего условия [0]+6[0]+18[0]+36[0]=1, находим [0]=1/61, а затем - искомые стационарные вероятности [1]=6/61; [21=18/61; [3]=36/61.

ЗАДАЧА 3. Определить вероятность потерь на 3-х линейном полнодоступном пучке при поступлении на него нагрузки первого рода с интеисивностью А=Ъ Эрл. Решение. Используем (4.5.2):

Яо(з) = 1:

3 * 1

Е (3) = -Л1±1= .

" > 2 + 3 * 0.75 17 3* V; 9

£ з(3) =

3 + 3.%7 26-

4.5.2. Интегральное распределение Эрланга

Пусть {х} - состояние V-линейного пучка (наличие х установленных соединений), [jc] - стационарная вероятность состояния {jc} (x=0,...V). Тогда первый потерянный вызов, поступивший на (Г+/)-ю фиктивную линию пучка при условии неосвобождения занятых линий, будет принадлежать потоку Эрланга (V-x)-ro порядка, поскольку потери наступят только после поступления (V-x+1)-to вызова.

Рассмотрим функцию распределения промежутков времени между вызовами потока к-го порядка. Для этого обратимся к потоку Эрланга 0-го порядка (простейшему потоку вызовов) с интенсивностью X, у которого функция распределения, плотность, изображение плотности и математическое ожидание промежутков между вызовами соответственно равны

F,(t) = \-e-\

Ut) = dF,(t)/dt = Ae-\

S

Ш = L[Mt)] = J Л e-e-dt = --

00 J

M[t,]=\tmdt=,

где L - оператор Лапласа.

Поток Эрланга к-то порядка образуется из порождающего потока 0-го порядка, когда к вызовов потока 0-го порядка "теряется", (Л:+7)-ый остается, затем снова к вызовов "теряется", следующий остается и т.д. Используя теорему о свертке, получим изображение потока Эрланга к-то порядка

Л(5)=1[Л(0]=

{Л + s)

из которого разложением Хевисайда для рациональных алгебраических дробей находим оригинал