Очевидно

откуда для любого значения V

1 А* А*"

[У] = ЕАА) =--=--= ---, (4.5.3)

A(l + iutYe~dt jiA+zfe-dz о о

где I(V,A) = j(A+ zf e~dz - интеграл первого рода, о

Выражение {4.5.Т) - интегральная формула Эрланга, позволяющая производить расчет потерь при любом действительном значении V.

Для интегральной формулы Эрланга верно рекуррентное соотношение

~V+AEy ,{A)

с начальным значением

где V = F - INT(V) - дробная часть емкости пучка.

Л(0=1-ЧЛ()]=яе-,

где L- оператор обратного преобразования Лапласа.

Теперь легко находим функцию распределения промежутков между вызовами

до=л(ол=1-х- .

о 1=0

математическое ожидание промежутков времени между ними

00 +1

M,[n = \tf,{t)dt-

и параметр просеянного потока вызовов потока Эрланга к-то порядка

Вернемся к нашему случаю. На (К+7)-ую линию пучка в состоянии {х} поступают условно потерянные вызовы потока Эрланга {V-x)-to порядка, ибо д: вызовов уже "потеряны" на предыдущих линиях пучка. Поэтому плотность потока условно потерянных вызовов, поступающих на (К+7)-ую фиктивную линию пучка находим по формуле полной вероятности

Л (О = J:fy-At) = f-OV. e- = (X / и )(1 + ц tf е-. jf! iV-x)\

4.5.3. Поток Пальма

Промежутки времени между вызовами потерянного потока, кроме первого, распределены по одинаковому закону, поэтому потерянный поток вызовов является рекуррентным и называется потоком Пальма.

Для простейшего потока вызовов C.Palm вывел уравнение

<pЛt) = <P.-(t)-W-e~Шt-)d<Px-M \ x=l,...V, (4.5.4)

где фх(0 - вероятность того что в промежутке времени (to, to+r) ни один вызов на дг-ой линии пучка не будет потерян, при условии, что в данный момент to на этой линии теряется вызов, ц - интенсивность обслуживания вызова.

Применим к (4.5.4) преобразование Лапласа

<Рх is) = (Рх-х (-s) - (Рх (-sMx-i (-s) + <Рх is)d<Px-\ (s + M) = = (s) -s<p (5), , (5) + (5 + ), , {s + n), откуда

Введем новую функцию , i(0 = l~x-i(0 - функцию распределения промежутков времени между вызовами на выходе (х-1)-ой линии пучка. Для нее

, ,(5) =-f. (4.5.6)

Подстановкой (4.5.6) в (4.5.5) получаем

s[l-sF, ,is) + (s + fi)F, ,(s + fi)] или

F,(s) = - <p,(s) =

s s[l-sF ,(s) + (s + M)Fx ,(s + fi)]

fx-l(s + JU)

(4.5.7)

[1-Л-.() + Л .( + )]

где fx-i (s) - преобразование Лапласа от плотности потока, потерянного на (х-1) линиях пучка.

Последовательно вычисляя

fXs + ju) = --т----7--, . -г, 1=0, ...х, j=0. ...X.

при начальных

fo(s + JM) =

итерационным методом из решения уравнения

1-Л-,() + Л-,(+/") = о

находим корни у,, А:=7, ...х+1.

Тогда вследствие того, что fx (0)=1, (4.5.7) можно представить в виде

x + 1

П у.

Fxis) = -Т7Г-,

к =1

которое имеет оригинал

(4.5.8)

Таким образом, в неявном виде получено аналитическое выражение (4.5.8) ддя расчета функции распределения промежутков времени между вызовами потерянного потока на (х-1) линиях пучка. Любое аналитическое выражение, полученное в неявном виде, обладает, по крайней мере, двумя недостатками.

Во-первых, оно лишено наглядности для анализа зависимости рассчитываемого параметра от исходных данных, поскольку последние в конечном аналитическом выражении отсутствуют.

Во-вторых, дальнейшее использование рассчитанного параметра в качестве составной части другого сложного аналитического выражения еще более усложняет решение и теряет наглядность. Эти причины заставляют искать эмпирическое приближение точного решения.

В некоторых случаях хорошее эмпирическое приближение дает экспоненциальное распределение в виде

F,(0 = l-exp(-Af£,()) (4.5.9)

Для сравнения (4.5.8) и (4.5.9) в табл.1 приведены результаты расчета функции распределения промежутков времени между вызовами потерянного потока при следующих исходных данных: Я,=10 час ц = 10 час, де = 5. Точное решение вычислялось по формуле

FsCO = 1-1.0048е-°°2 +0.00856-"" -О-ООЗЗе"" +0.002е-"-* -0.00046"** +0.000036"*

Табл.1.

Как видно из таблицы приближение вполне пригодно для инженерных расчетов.