П -1

[х]=с;А

(4.6.1)

1 = 0

где А = а/ц - пуассоновская нагрузка второго рода. Финальная вероятность

-1-1

Р,=[У] = Е,,(А) = С,А

Tel А

= СА[0] (4.6.2)

определяет потери по времени и носит название формулы энгсета.

Рассмотрим источник без потерь. Для него N=V=l, [1] = а - реальная удельная нагрузка, поэтому из (4.6.1)

а I fi а /л I а а а----=--= «Л А= - = --, (4.63)

где а г - реальный параметр потока, поступающий от источника в системе без потерь, t - среднее время занятия.

При численных расчетах производят замену пуассоновской нагрузки второго рода на реальную нагрузку по формуле А = а/(1-а).

Параметр потерянного потока вызовов

n=vW]={n-V)a [V] = in-V)aЕ,у(А) = (n-V)aР.

4.6. Полнодоступный пучок в системе с потерями. Модель Энгсета (м/м/ v/k/n, k=v)

4.6.1. дискретное распределение энгсета (t.engset)

В системах распределения информации малой емкости, когда число источников нагрузки мало, параметр потока от одного источника сравним с суммарным потоком вызовов. В этом случае суммарный поток вызовов зависит от числа источников и от состояния {х} (х=0,1.... V) системы обслуживания. Такой поток называется примитивным потоком с простым последействием. Для него ф Л ф...фХ = х .

Модель Энгсета для расчета вероятности потерь справедлива при предположениях: параметр поступающего потока вызовов в момент занятости х входов пропорционален числу свободных источников, т.е.

= {n-х)а , О <x<V,

где Л - число источников вызовов (число входов в КП), а - интенсивность поступления вызова от свободного источника;

- длительность занятия подчиняется экспоненциальному распределению с параметром ц;

- вызов, не принятый к обслуживанию в момент поступления, теряется, не влияя на моменты поступления последующих вызовов;

- любой из V выходов пучка доступен, когда он свободен, для любого поступающего вызова.

- исходной для расчета является поступающая нагрузка;

- система находится в стационарном режиме.

Подставляя значения параметров К и в формулы вероятностей процесса рождения и гибели, получим

Потери по вызовам

[Vy ClAmN-V)a Cl ,A

Потери по нагрузке

= Е у(А)

Na-x[x]

Среднее число занятых линий (обслуженная нагрузка) у

V„ = Y,x[x]=(N-(N-V)P, )а = iN-(N-V)P,)

a + ju

Прямой расчет формулы Энгсета во многих праюнческих случаях невозможен из-за переполнения разрядной сетки вычислительного устройства (при больших значениях А иУ). Поэтому для ее расчета пользуются рекуррентным соотношением

„ A(N -V +1)Еу ,(А)

A.aJ (iV -V +1)£,, ,() + F

последовательно вычисляя £jyj(.<4), Efji) • • • -л.иС-) при начальном значении Е4А) = 1.

4.6.2. Интегральное распределение Энгсета

Пусть {х} - состояние Г-линейного пучка (наличие х установленных соединений), [х] - стационарная вероятность состояния {х} (0<x<V). Тогда первый потерянный вызов, поступивший на (Г+7)-ю фиктивную линию пучка при условии неосвобождения занятых линий, будет принадлежать потоку Энгсета (¥-х)-то порядка, поскольку потери наступят только после поступления (V-x+1)-to вызова.

Изображение плотности условно потерянного потока Энгсета {V-кУто порядка имеет

Л() = L[f,{t)] = П т4т

i=k + s

а сам оригинал

j=k,j*i

Плотность потока условно потерянных вызовов, поступающих на (Г+7)-ую фиктивную линию пучка, находим по формуле полной вероятности

fv it) = t ИЛ ДО = i П е- -

j=k.j*i

(4.6.4)

j=x+l

Ilw-i-)

Подставляя в (4.6.4) Я,, = (?V-x) а , ц, = х\1, получим

fy (О = F - F)« e-"- JC (-1)- (1 + / « ) e"* ( / а)»-- =

= [FIN -V)a e((1 + /«)e" -цIa)Y

Очевидно

откуда для любого значения V [У] = Е у(А) =

ifyit)dt=l.

jiN-V)a {(l + fi/d)e" -ц1аУ edt

(4.6.5)

iaifif

т,У,АУ

\i\ + al fi-e-Y -V)at)

где /(iV, V ,A) = {\ + A-e Y edz - интеграл второго рода, о

Выражение (4.6.5) - интегральная формула Энгсета, позволяющая производить расчет потерь при любом действительном значении V.

Для интегральной формулы Эрланга верно рекуррентное соотношение

Е.У {А) =

A(N -V +1)Еу ,(А) A(N -V +l)Ey ,(A) + V

с начальным значением

Е,,.ЛА)-

m,v,Ay

где v=V- INT(V) - дробная часть емкости пучка.