Р(>0) = А = Л 11Л , FSt) = \--e-~\

FXt) = l-e~-. (4.7.5)

4.7.4. СистемаM/G/1

Формула Поллачека-Хинчина определяет средние значения параметров однолинейной системы с произвольным законом обслуживания вызовов в зависимости от поступающей нагрузки A=A/ju, среднего времени обслуживания ts=l Li и среднего квадратического отклонения времени обслуживания 6s.

Среднее время ожидания начала обслуживания

г... =

л 2(1 - А)

1 + ()

среднее время обслуживания U = 1/ju. Среднее время пребывания вызова в системе te=tyv+ts, среднее число вызовов в системе

2 Г X

2(1- А)

За среднее время пребывания вызова в системе все ранее поступившие вызовы будут обслужены, т.е. покинут ее. Поэтому среднее число вызовов, находящихся в системе, равно произведению параметра обслуживаемого потока на среднее время пребывания вызова в системе:

Мд = Ли. (4.7.6)

(4.7.6) - формула Литтла.

4J.5. Система M/D/V

На полнодоступный пучок из V линий поступает простейший поток вызовов с параметром k<V. Длительность занятия (обслуживания) - постоянна и равна 1. Если в момент времени все линии заняты, то вызов становится на ожидание и обслуживается в порядке поступления.

Задача решается только численными методами, простое аналитическое выражение для функции распределения получается только при M/D/1

F,{t) = , (4.7.3)

поэтому ФРВО пребывания вызова в системе

F,(t) = I Fir ) dF,(t - т). (4.7.4)

4.7.3. Система М/М/1 Принимая в формулах (4.7.2) - (4.7.4) значение V=l, получим

(Л (а:-0)\ло-*)

Р(<0 = (1-Л ) где ]4 - целая часть f.

Для различных значений F имеются графики зависимости вероятности ожидания начала обслуживания более фиксированного времени t - кривые Кроммелина, представляющие собой монотонно убывающие функции.

ЗАДАЧА 1. На АТС поступает нагрузка 4=60 Эрл. Определить проюводительность центрального управляющего устройства (ЦУУ) при заданной при средней длительности разговора t=120 сек., вероятности окончания обслуживания вызова ЦУУ (моментом окончания набора номера и подачей зуммерного сигнала «Готово») не менее 0.95 за время не более О.б сек. Определить загрузку ЦУУ.

Решение.

Время после окончания набора до момента подачи зуммерного сигнала расходуется ЦУУ на установление соединения. Представляя ЦУУ в ввде системы М/МЛ, имеем следующие исходные данные: <=0.бсек., F/0.6 сек)=0.95, Х,=у4ц=АГ,=0.5 сое". Используя (-#.7.5), убеждаемся в выполнении иеравенства

(01- е*, при ц > 5.5 сек , или ц > 19800 вызовов в ЧНН. При этом загрузка УУ р = Х/ц = 0.5 /5.5 = 0.09 Эрл.

ЗАДАЧА 2. АТС имеет емкость N=2Q ООО номеров. Удельная нагрузка от абонента а=0.1 Эрл., среднее время разговора t, = 120 сек. При тех же требованиях задачи 1 к вероятности окончания обслуживания вызова ЦУУ определить производительность ЦУУ и его загрузку.

Решение.

Общая поступающая нагрузка А=Ыа=2Ш) Эрланг, X=A\i=A/ts=\7сек. F () < 1 - е~~, при ц > 22 сек , или ц > 79200 вызовов в ЧНН. При этом загрузка УУ р = Л7ц = 17/22 = 0.8 Эрл.

ЗАДАЧА 3. Сравнить среднее время ожидания начала обслуживания при экспоненциальном и постоянном времени обслуживания.

Решение.

Из формулы Поллачека-Хинчина при экспоненциальном распределении времени обслуживания 6s=*s, поэтому

1 А

Л 2 {I - А )

1 - (4)

1 А Л I - А

при постоянном времени обслуживания ,=0, поэтому

1 А

Л 2 {\ - А )

1 + it)

Л 2 {\ - А )

Таким образом при постоянной длительности занятия среднее цремя ожидания обслуживания в два раза меньше, чем при . показательной длительности занятия.

4.8. Неполиодоступиое включение

4.8.1. Общие положения

С целью экономичного использования линий и дискриминации части нагрузки в электромеханических АТС часто применяются неполнодоступные схемы (НС). В АТС с записанной программой те же цели достигаются программными средствами. Особенностью НС является то, что не все линии пучка доступны входящему вызову. НС характеризуется тремя параметрами: числом нагрузочных групп абонентов - g, общим числом выходов - V, доступностью - d. Нагрузочная группа - совокупность входов НС, которым доступны одни и те же с/ выходов. Доступность - число выходов НС, доступных одной нагрузочной группе. Пример НС приведен на рис.92, в которой g=5, V=%. Выходы 1-7 образуют СЛ

V=\,4,6,7,%

V=2,5,7,S

F=5,8

. 7» 7» 7»

> *1 *4 *б

-f 2 * 5

Рис.92. Пример НС

Г мг

1 2 3 5 2 1

2 4 1 1 1 2

Рис.95. Матрица НС

Идеально-симметричной НС называется схема, в которой g= Су. Любые две нагрузочные группы отличаются хотя бы одной линией, при поступлении более d вызовов всегда блокируется одна нагрузочная группа. Пример идеально-симметричной НС дан на рис.94.

V=1.2,4

V=l,3.4

V=2.3,4

Рис.94. Идеально-симметричная НС

4.8.2. Третья формула Эрланга

Модель справедлива при предположениях:

- вызовы, поступающие на вход системы, образуют пуассоновский поток постоянной интенсивности с параметром Я,;

-длительность занятия подчиняется экспоненциальному распределению с параметром р;

- вызов, не принятый к обслуживанию в момент поступления, теряется;

в требуемом направлении, выход 8 применяется для обходного направления, выход 9 подключен к автоинформатору - механическому голосу (МГ) «Занято». Группа 1 является приоритетной и имеет d=5 линий (1,•,6,7,8) в требуемом направлении, группа 2 - менее приоритетной и имеет d=4 линии (2,5,7,8), группа 5 - низкоприоритетной и имеет d=2 линии (5,8).

Одной из характеристик НС является матрица связности, показьтающая число общих выходов отдельных групп. Для НС рис.92 матрица связности приведена на рис.95.

В полно доступных схемах всегда d=V, порядок включения и искания не влияют на вероятность потерь. В НС характер включения и порядок искания существенно влияют на потери. Кроме того, НС имеет большое число состояний, отличающихся комбинацией занятых входов и выходов, что приводит к такому большому числу уравнений, что в общем случае задача не решается. Имеется решение только для идеально-симметричных НС.