Фо(0 dt

= .-iP.-i(t)-pAt),

- = y-lPy-lit),

x=0.

x=l...V-l. x=V.

(4.13.1)

гдеp/t) - вероятность того, что в момент времени t занято х линий: х = 0,...V, dpAt)

--- - производные от вероятности px(t), - параметр потока вызовов в состоянии {х} dt

с х занятыми линиями: х = 0,...V, Лу = О, которая тривиально получается из (4.4.1) с учетом того, что jUx=0,x = О,...V.

Система (4.13.1) имеет единственное решение при заданном исходном состоянии пучка. Пусть исходное состояние пучка - {0}, тогда вероятность px(t) достижения пучка состояния {х} за время t для примитршного потока

Px(t) =

с;;(е"-1Ге-«,

x=0,...F-l,

(4.13.2)

a для простейшего потока вызовов

P.(t) =

x = 0,...V-l,

(4.13.3)

Выражения (4.13.2) и (4.13.3) могут быть использованы и для случая, когда процесс рождения начинается с произвольного состояния к, k=0,...V. В этом случае следует заменить р, (t) наpo(t), р,., (t) на p,(t) и т.д.

Стационарное состояние пучка процесса рождения - {V}.

ЗАДАЧА 1. Среднее время работы одной плоскости в АТС SDE - 1 год. Считая поток неисправности простейшим, определить вероятность а)безотказиой работы; б)перехода на резерв; в)выхода из строя в необслуживаемом режиме в течении 0.5 года; 1 года; 2 лет; 5 лет.

Решение.

Параметр потока неисправностей = (1 год) . Согласно С4.У5..5 вероятность безотказной работы p{t) = е , вероятность перехода на резерв- P(t) = te ~* , вероятность выхода из строя- P2{t) = 1 - е - te . Подставляя значения t = 0.5 года; 1.0 год ; 2.0 года ; 5.0 лег , получим вероятности

= > .-iA-i(0 - (?i , + и (О + и A,i(0, х=1,.. V-1, (4.13.4)

где р V - параметр потока освобождений в состоянии {х} с х занятыми линиями: дс = О,... F, Цо = 0.

Система имеет единственное рещение при заданной матрице исходного состояния пучка Iv = 11x1» X = ft... V.

Общее рещение (4.13.4) представляется в виде суммы частных рещений

Р. W = Ъcik,xV, X = 0,...F, (4.13.5)

где Ук - к-ый корень характеристического уравнения, С(к,х) - постоянный коэффициент, соответствующий ких.

Для нахождения ук и С(к,х) следует решить уравнение

Т,ПС(к,х) = 0, k = l,.:V.

Корень уо= О определяет решение (4.13.4) в режиме стационарного равновесия: С(0,0) = [01С(0.х)-[х].

Последующие корни находятся из равенства

Zca,x) = 0, k = l,...V, (4.13.6)

причем корни образуют рекуррентную последовательность

где (Ло = Я .1= С(к,-1) = 0. Поэтому из (4.13.7), задаваясь начальным приближением С*(к,0) = 1 итерационно находятся корни уь k=l,...V и вычисляются С*(к.х), k=l,...V, х = 0,...V, отличающиеся от С(к.х), к=1,... V. х= ft... Fпостоянным множителем Ак.

Истинные значения С(к,х) = Ак С*(к,х), k=l,...V получаем из решения системы линейных уравнений вида

h=AkC*(k.x)

относительно Ак, к=0.... F, где 1у = ij - матрица исходного состояния пучка.

4.13.2. Процесс рождения и гибели

Диаграмма переходов марковского процесса рождения и гибели описывается следующей системой дифференциальных уравнений

C\k,x) =

- матрица коэффициентов.

Ak ~ \Ак\ - искомая матрица постоянных коэффициентов. Например, если переходный процесс начинается с состояния {0}, то в матрице 1у io= 1, ii=i2 = ... iv=0 и пользуясь, формулой Крамера, находим

С*(0,0) С*(1,0). . . 1 . . .C\V,0) с\о,1) c*ai). . . О . . .C\V,l)

C\0,V) C\l,V) . . .0

.C\V,V)

Ак =

C\0,0) C*(1,0). . .C\k,0) . . .C\V,0) C\0,l) C\U) . . .C\k,l) . . .C\V,l)

,k=O....V. (4.13.8)

C\0,V) C\l,V) . . .C\k,V)

.C\V,V)

Стационарная вероятность состояния {x} ,x = 0,... Гпучка в режиме рождения и гибели - С(0.х).

ЗАДАЧА 2. На полнодоступный 3-линейный пучок, находящийся в момент времени t = О в состоянии {0}, начинает поступать примитивный поток вызовов от = Г источников нагрузки с параметром свободного источника а = 2 час . Время обслуживания вызова распределено по экспоненциальному закону с параметром ц = 20 час . Определить время Т, при котором с вероятностью не менее 0.99 процесс обслуживания вызовов можно считать стационарным.

Решение.

Подставляя значения а = 2 ч", ц = 20ч-, V = 3b(4.13.6) и пользуясь f4.75.7), находим корни У» = -22,0 ч-, )5 = -44,1 чЛ )i = -66,l ч" и коэффициенты:

С(0,0) = 1.000, с •(1,0)= 1,000, С*(2,0)= 1.000, с(3,0)= 1.000;

С "(O-l) = 0.300, С *(1Д) = -0,800, С *(2,1) = -1.904, С *(3.1) = -3.005;

С *(0,2) = 0.030, С *(1,2) = -0,189, С *(2,2) = 0.807, С *(3,2) = 3.013;

С(0,3) = 0.001, С *(1,3) = -0,01 1, С(2,3) = 0.097, С *(3,3) = -1.008; Для нахождения постоянных коэффициентов привлекаем (4.13.8)

p{t) = 0.75 14 + 0.2252-"" + 0.0229-""" + O.OOOSg-""; р,(0 = 0.2254 - 0.1802е-"" - 0.0437""" - 0.001 Se""";

= 0.02 2 5 - 0.04 2 56""" + 0.0 1 8 5е""" + 0.0 0 1 5е-**"; Рз(г)= 0.0007 - 0.0025 6-"" + 0.0023 е""- 0.0005 е"". По условию задачи процесс можно счтатьстационным, если po(t)-[0] < 0.01, что выполняется при t> 0.15 ч = 9.0 минут.

С\0,0) С\Щ ...C\V,0) С*(0,1) С\\,1) ...C\V,l)

C\0,V) C\l,V) ...C\V,V)