Системой счисления, или нумерацией, называется совокупность приемов и правил для- наименования и обозначения чисел. Принципы построения систем счисления могут быть весьма различными и во введении мы дадим некоторую классификацию систем, счисления, удобную с точки зрения прикладных вопросов, которым посвящена эта книга.

Будем предполагать, что имеется конечный- алфавит A = {ai, «2, ... , CLn\, элементы которого могут использоваться при записи чисел в данной системе счисления. Элементы А будем называть цифрами. Каждой цифре в записи числа однозначно сопоставляется количество, выражаемое этой цифрой. Это количество мы будем называть колияественным эквивалентом данной цифры. Если а. есть цифра, записанная в данном месте в записи числа, то (й,) означает количественный эквивалент, который мы ей сопоставляем.

Разобьем все системы счисления на два класса.

Определение 0.1. Система счисления называется непозиционной, если каждой цифре в любом месте в записи числа однозначным образом сопоставлен некоторый количественный эквивалент {а.

Таким образом, для непозиционных систем счисления местоположение цифры в записи числа не играет никакой роли. В любом случае этой цифре сопоставляется одинаковое количество.

Определение 0.2. Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент, сопоставляемый всем цифрам а,, из Л, зависит не только от вида этой цифры, но и от ее местоположения в записи числа.

Как следует из вышеприведенных определений, непозиционные и позиционные системы счисления представляют собой два крайних случая. В принципе возможны частично-позиционные системы, в которых для одного множества цифр количественный экв-ивалент однозначен, а для другого множества цифр он зависит от их местоположения в записи числа,

Для определения количественного эквивалента полной записи числа в данной системе счисления вводится функция

F\i.ci,), (йг), ..., (а„)], .

аргументами которой являются количественные экви-•валенты цифр, входящих в запись данного числа.

Для большинства существующих систем счисления функция F есть функция десятичного сложения. В этом случае для нахождения количественного эквивалента данного числа необходимо просуммировать - по правилам десятичной системы все количественные эквиваленты цифр, входящих в запись этого числа.

Пример 0.1. Для обычной десятичной системы счисления мы имеем .

Л = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Для числа 756,7 количественный эквивалент вычисляется следующим образом. Цифрам этого числа сопоставлены соответственно следующие количественные эквиваленты: для левой цифры 7 (7) = 700, для пятерки (5) = 50, для шестерки (6) = 6 и, наконец, для правой цифры 7 (7) = 0,7. Применяя принцип сложения, получим количественный эквивалент числа (756,7) = 756,7. Читателя не должно смущать, что в силу установившейся традиции и удобства в десятичной системе само число и запись количественного эквивалента этого числа совпадают.

в некоторых системах счисления функция F может быть отлична от десятичного сложения, может быть неоднозначной и определяться комбинацией рарположения цифр в записи числа.

Пример 0.2. Для системы счисления, известной под названием римской нумерации, функции F может быть либо функцией сложения, либо функцией вычитания. Для этой системы А = {\, V, X, L, С, М}. Для числа CCXXXIX количественный эквивалент вычисляется следующим образом: (С) = 100, (X) = 10 (I) = 1 независимо от местоположения цифр в записи числа. Однако для- подсчета эквивалента всего числа необходимо количественный эквивалент I вычесть из суммы количественных эквивалентов, сопоставляемых остальным цифрам в записи числа. Поэтому (CCXXXIX) = 239.

В этом примере мы рассматривали римскую нумерацию как непозиционную систему счисления. Можно было бы рассматривать ее как позиционную систему счисления, в которой каждая цифра соответствует в зависимости от своего местоположения в записи числа- положительным или отрицательным количественным эквивалентам. -

Кроме систем счисления, в которых функция F является функцией алгебраического сложения, известны еще мультипликативные системы счисления, в которых количественный эквивалент числа получается путем перемножения количественных эквивалентов цифр этого числа.

Исторически вначале появились непозиционные системы счисления. На рис. 0.1 показаны- примеры таких систем. Общим недостатком непозиционных систем счисления является трудность записи в таких системах больших чисел. Либо эти записи слишком громоздки, либо алфавит цифр весьма велик. Например, в системе счисления первобытного периода для изображения количества, равного 20000, потребовалось бы изобразить двадцать тысяч одинаковых символов, что сделало бы запись этого числа абсолютно ненаглядной. Если же для каждого нового количества, которое изображается имеющимися цифрами, дслиш-ком длинно» вводить новый символ-цифру, то алфавит цифр начнет быстро расти и для случая неограниченного множества чисел придется иметь либо