ской форме неоднозначно. Если, например, в системе счисления с 5 = 10 необходимо записать-число Зс = 68,5, то из того, что записи л;= 10-0,685; л: = 10-0,00685 и т. д. эквивалентны, получаются эквивалентные представления в полулогарифмической форме Рх = , /и = 0,685 или Px - t = 0,00685. Для получения однозначного представления чисел в полулогарифмической форме необходимо ввести на мантиссу еще одно ограничение. Потребуем, чтобы для мантиссы имело место неравенство 5~<jc<l. Мантиссу, удовлетворяющую этому условию, называют нормализованной. Представление любого числа, кроме нуля,-в полулогарифмической форме с нормализованной мантиссой является единственным.

Возможность представления любого числа х в нор-Jиaлизoвaннoй форме вытекает из следующего. Последовательность 5- 5-+1..... 5", 5 ..., 5 при 5 > 1

монотонно возрастающая. Для любого х найдется такое т, что S"" < л < S" {тЩО/). Деля все члены

йеравенствана 5"*, получим < 1-

Тогда .

x-=-S"--x, где л;= sign л;-1л; 1-5"".

Так как масштаб, числа при его записи в полулогарифмической форме введен в машину, то такие операции, как выравнивание масштабов (порядков) при сложении или вычитании, суммирование масштабов при умножении или вычитание их при делении, могут машиной-выполняться автоматически. На долю человека остается лишь ввод исходной информации в полулогарифмической форме.

Если после каждой операции производить нормализацию результата, то значение мантиссы будет все время лежать в пределах от до единицы. Это означает, что относительная погрешность представления чисел при полулогарифмической форме постоянна и равна 5-("+!). В отличие от естественной формы представления при полулогарифмической форме абсолютная погрешность не постоянна, а зависит от величины порядка. Абсолютная погрешность минимальна при наибольшем отрицательном значении р и-максимальна при наибольшем положительном значении р,

3* 35

в самом деле, абсолютная погрешность мантиссы при п разрядах, отводимых на нее, есть Д <5~".

Если х = S-\x\, то абсолютная погрешность записи всего числа есть Дд.<5-5~". Относительная же погрешность этого числа д; ~ ~ 5~"""1 не зависит от

величины порядка этого числа.

При производстве операций погрешность может резко возрасти за счет операций нормализации. Если, например, при 5 = 2 нам необходимо вычислить на машине выражение w=x--y + z, где JC = 2°-(0,54-2~), у = 2"°.(0,5) и 2 = 2i-(0.5), то а=л; -у = 2°-(0,5+2--- 0.5) = 2°.(2-з) = 20,5; а + 2 = 2-0,5 + 2-0,5 = =2-(0,5 + 2 ®). Но если изменить порядок действий . и посчитать вначале = x + z, а затем w = -y, то мы получим следующие результаты: р.= л; + 2 = 2" X X (0,5 + 2- + 2°) (2° считаем пропавшим из-за сооо-каразрядной сетки машины): щ) = р-> = 2°2~ = г= 2-0,5. Сравнивая два полученных результата, можно найти абсолютную разницу между ними 2-2~® = 1 и относительную разницу 2~

При плавающей запятой возможно переполнение результата операции по порядку. Если значение порядка становится большим, чем максимально допустимый в данной машине порядок, то происходит потеря порядка, что приводит к неверному результату. В машинах при возникновении переполнения порядка происходит остановка машины. На п-реполнение порядка оказывает -влияние порядок действий над данными. Если, например, снова рассмотреть 5 = 2 и считать, что максимальное значение порядка не превосходит 50, то наше утверждение можно проиллюстрировать следующим примером. Пусть нам требуется подсчитать

да = , где л; = 2"-0,5, у = 2-0,5 и 2; = 2-0,5. Если

вначале подсчитать а = ху = 2-0,5, то произойдет переполнение по порядку. Если же вначале подсчитать Р =3:2: = 2-0,5, а затем да = л;Э = 2-0,5-2°-0,5 = = 2-0,5, то мы получим истинный результат.

Отметим, что точность представления в полулогарифмической форме существенно зависит от -выбора основания системы счисления. • Для вычислительной

=машины с основанием S потеря точности по сравне--нию с двоичной машиной составляет v двоичных разрядов, где V выражается из следующего эмпириче-

0,6S „

ского соотношения: . Для машин, рабо-

У loga S

тающих в десятичной системе, •й=1,7, для машин, работающих в восьмеричной системе, г; = 1,5, а для машин, использующих шестнадцатиричную систему счисления, v = 2,3.

Недостатком полулогарифмической формы представления ..является большой расход оборудования при представлении чисел в машинах и большее по сравнению с естественной формой представления время на производство операций в машине.

Остановимся еще на вопросе оценки диапазона чисел, представимых в п разрядах при использовании каждой из форм представления. При естественной форме диапазон чисел, представимых в разрядах, удовлетворяет условию

5"<jcI<5-S".

Здесь / - количество разрядов, отведенных для представления целой части числа, am - количество разрядов, используемых для записи дробной части числа. При полулогарифмической форме представления

Здесь д - количество разрядов, отводимых в машине для записи порядка, а г - количество разрядов, отво- . димых для записи мантиссы.

Из сравнения этих двух соотношений вытекает,-что при одинаковом числе разрядов в разрядной сетке машины полулогарифмическая форма представления обеспечивает более широкий диапазон представимых чисел нежели естественная форма.

Некоторые трудности при полулогарифмической форме представления вызывает запись числа нуль. Классической формой,записи нуля следует считать запись, при которой и мантисса и порядок равны нулю. Однако возможны и другие виды кода нуля, в которых мантисса равна нулю, а порядок отличен от нуля. Если не принимать специальных мер, то эти коды могут испортить правильность вычислений. Если такой