t § 1.4. Сложение чисел в естественной форме

В этом и следующем параграфах будут рассмотрены правила сложения для систем счисления канонического типа для чисел, представленных в естественной или полулогарифмической формах.

Вначале рассмотрим случай естественной формы представления, в которой запятая фиксирована перед старшим числовым разрядом. На протяжении всего изложения там, где это специально не оговаривается, предполагается, что результат операции лежит в диапазоне представимых чисел в данной системе счисления. -

Изучение операции алгебраического сложения начнем со случая симметричных систем счисления. Для таких систем понятие алгебраического и арифметического сложения практически совпадает, так как среди цифр симметричной системы есть цифры обоих знаков, а диапазон положительных и отрицательных чисел одинаков. В силу этого организация сложения в симметричных системах проста. Нужно только выписать правила сложения для одного разряда с учетом переноса из младшего разряда в старший разряд и при сложении чисел последовательно применять эти правила для - всех разрядов, начиная с самого младшего. При задании правил сложения можно ограничиться только теми случаями, которые не получаются друг из друга простой перестановкой, так как операция сложения в любых системах, счисления всегда является ком-, мутативной.

Пример 1.16. Правила сложения для симметричной системы с 5=5 определяются таблицей 1.1.

В соответствии с этой таблицей найдем суммы

(jc)5 = , 210201 (л;)5 = , 022101 .

(у%==, mm (у},=-, пот

(х -f ;;>5 = , 112200 (х +у)5, 02 1222

Вычитание в симметричных системах счисления сводится к инвертированию вычитаемого и прибавлению инвертированного кода к уменьшаемому.

Таблица 1.1

пример 1.17. Найти х - у и симметричной пятиричной системе

л; =-8

После перехода к пятиричной записи в естественной форме с одинаковым масштабом Ж = 5 получим

(х), =, 2210

{-yh = , U12 . ; •

. (х-у% = , 0202

При переходе к десятичной системе, учитывая масштаб, получим

{х-у},2,02 или л; = 2-==1.

Рассмотрим теперь кососимметричные системы счисления. Как известно, для таких систем диапазон

представления положительных и отрицательных чисел неодинаков. Если сложение происходит только в меньшем из двух диапазонов представления, то кососимметричные системы ничем не отличаются от симметричных. Если же при сложении используется больший из двух диапазонов, то кососимметричная система становится аналогичной смещенной системе, так как, в этом случае часть чисел какого-либо знака уже не кодируется без введения специального знакового раз-. ряда, а наличие специального знакового разряда является специфической особенностью при организации сложения. В силу этого кососимметричные системы не получили достаточно широкого распространения. В этих системах приходится либо жертвовать возможным диапазоном представления чисел, либо переходить на представление с помощью знакового разряда. В первом случае мы получаем симметричную систему с неэкономным, расходом оборудования на представление чисел, а во втором - смещенную систему, обладающую избыточностью, так как одно и то же число для некоторой группы чисел может быть в ней выражено двумя способами при помощи использования знакомого разряда или при * помощи отрицательных цифр.

Прямер 1.18. Для кососимметричной системы 5 = 4{-1, О, 1, 2} с использованием знакового разряда (прямого кода) имеем

(->4 = -o,iT = o,Ti.

Отсюда

[4 = 0.11 = 1.11.

Перейдем теперь к рассмотрению алгебраического сложения в смещенных системах счисления. Как и раньше, будем рассматривать системы, смещенные в положительную сторону. Полученные нами резуль--таты будут верны и для систем, смещенных в отрицательную сторону, с точностью до замены слов «отрицательное число», «знак минус»на слова «положительное число», «знак плюс».

Как и для симметричных систем счисления, для смещенных Систем прежде всего необходимо написать

Б-79,-4 • 49