стания натурального ряда чисел О, 1, 2,... (нумерация идет справа налево), а справа от него клетки ленты нумеруются целыми отрицательными числами - 1, - 2, ... (слева направо). Тогда каждой цифре в записи . числа однозначно сопоставляется целое положительное или отрицательное число или нуль. -Это число называется номером разряда в записи числа.

Для обозначения"места в записи числа, соответствующего разряду с номером i, введем обозначение I ),-. Тогда запись [аД. означает, что в i-м разряде числа записана цифра а-, а запись [(а)]; означает, что в с-м разряде числа имеется количественный эквивалент, равный (uj). Обозначение ([(а)],) можно рассматривать как символ, характеризующий значение количественного эквивалента, сопоставляемого цифре aj, если она записана в i-м разряде числа.

Определение 0.3. Весом i-ro разряда для данной системы счисления называется отношение

р.==ШМ. (0 1)

если значение этого отношения постоянно для всех цифр из А.

В соотношении (0.1) внизу стоит количественный эквивалент ар сопоставляемый этой цифре, если она стоит в нулевом разряде. Эти количественные эквиваленты считаются всегда заданными. Соотношение (0.1) становится неопределенным при ([(tty)]J) = 0. Так как при этом Pi может быть любымчислом, то положим его равным тому значеник), которое получается при aj, отличной от нуля.

Знание веса разряда позволяет вычислять количественный эквивалент цифры в данном разряде, ибо

([(«y)L) = (l(«y)]o)ft-

Определение 0.4. Система счисления, для которой каждый разряд имеет вес, называется весомо-знаяной.

Весомозначныё системы существенно проще невесо-мозначных. Для полного их задания достаточно задать алфавит А, алфавит весов разрядов Р={Рх,Р-, - } (вообще говоря, бесконечный) и указать количественные эквиваленты «у цифр из А для нулевого (или

какого-либо другого) разряда. Правда, необходимо еще задать функцию F, но, как мы уже условились, если это специально не оговаривается, то под F всегда понимается функция десятичного сложения. При таком задании системы счисления с помощью соотношения (0.1) можно получить значение количественного эквивалента в любом разряде записи числа и для любой цифры из А.

Примером весомозначной системы счисления может служить китайский счет пятками по два. При этом два пятка дают единицу соседнего разряда с большим номером, а пять единиц, этого разряда дают одну «диницу следующего по старшинству. Таким образом,, в этой системе счисления /72+1 = 2-10\ ар=\Ф для любого (А = 0,- ± 1,. + 2, ...).

Основной трудностью, связанной с цспользованием весомозначных систем, является необходимость задания бесконечного алфавита весов Р. Так как простое перечисление этого алфавита невозможно, то необходимо ввести некоторое правило, с помощью которого можно было бы вычислять вес очередного разряда, если некоторое количество весов уже известно, или задавать- значение веса некоторого разряда в виде функции от его номера. В общем виде оба эти способа задания могут быть выражены с помощью соотношения

Pi=f{Pi-iPi-2-,Pi~k,i)- (0-2)

Большинство систем счисления весомозначного типа устроено так, ч/обы функция / из (0.2) была бы по возможности более простой.

Определение 0.5. Если для всех разрядов весомозначной системы счисления имеет место равенство

Pi = Sp, „ (0.3)

то система счисления называется естественной системой счисления, а величина 5 называется основанием системы счисления.

К естественным системам счисления принадлежит большинство из существующих в настоящее время систем счисления. В частности, естественной системой является и наша обычная десятичная система. При

5 = 1 мы получаем непозиционные системы, так как в этом случае веса всех разрядов одинаковы и имеют место равенства = .(1(«у)1о) для любых цифр из

А и любого L Естественная система полностью задается алфавитом А, количественными эквивален-. тами цифр в любом фиксированном разряде (обычно в нулевом) и значением S. Из соотношений (0.2) и (0.3) при этом вытекает, что

Системы счисления

Без бесоВ

Без основания

Дейст1ительное основание

Комплексное основание

Положительное основание

Отрицатльное основание

Целое основание

Дробное основание

Целое основание

Дробное основание

Основание, раВное единице

Основание, отличное от единицы

Рис. о:з