Наличие в знаковом разряде цифры О показывает, что нарушения нормализации влево нет. Совпадение содержимого знакового и первого значащего разряда мантиссы указывает на нарушение нормализации вправо. Осуществляем последовательные сдвиги мантиссы на один разряд влево с уменьшением порядка результата на единицу. После двух сдвигов получаем нормализованную мантиссу 0.200. Таким образом, окончательный ответ имеет вид (jc+j;)7== 7-0.200.

П)имер 1.30. Сложить в троичной смещенной системе числа (J<:)3==-3-2101 и (з;)з = -3-0,1022.

Так как порядки слагаемых совпадают, то переходим к суммированию мантисс. Так как система счисления троична, то для суммирования используем модифицированный код (например, модифицированный дополнительный код).

НЛд 22.0122 • • . Hj,] = 22.0122 .

,21.2100

Несовпадение цифр в знаковом .и контрольном разрядах указывает на нарушение нормализации влево. Для исправлени[ сдвигаем мантиссу вправо на один разряд и увеличим порядок на единицу. Сдвинутая мантисса имеет вид 22.1210. Окончательный ответ :(jc + j;)3=:-3-0,1020.

При подсчете времени выполнения операции сложения в полулогарифмическое форме возникают некоторые затруднения, связанные с оценкой вероятности уравнивания порядков перед суммированием мантисс и вероятности нормализации результирующей мантиссы. Точная оценка полного времени суммирования затруднительна и должна проводиться на основе изучения статистических данных, собранных при решении на машине задач некоторого класса.

Основное время сложения при параллельном сумматоре связано не только с непосредственной операцией суммирования, но и с возникновением переносов между разрядами. При этом существенную, роль играет длина переноса, так как от длины переноса зависцт время Суммирования чисел. Как показывают расчеты,, математическое ожидание времени сложения двух п разрядных чисел, пропорционально для большинства

типов сумматоров logft -1. Более точно -->1

* logs"

при п-*со (здесь Ж„ - математическое ожидание времени суммирования). Однако и для конечных значений п это утверждение выполняется достаточно точно.

Например, при 5 = 2 и /г = 40- = j= 1,07.

Поиски путей сокращения времени сложения, основной операции для вычислительных машин показали, что определенную выгоду может дать использование для сложения квазиканонических систем счисления, дающих избыточное представление числа. За счет имеющейся избыточности можно попытаться сократить Длины переносов, возникающих при суммировании, и получить выигрыш во времени.

Как будет показано ниже, при использовании избыточных систем решается даже более существенная задача, заключающаяся в том, что длины переносов перестают зависеть от числа разрядов суммируемых чисел и не хГревосходят некоторой установленной величины. Для квазиканонических систем эта величина равна единице, что означает отсутствие переносов при сложении далее чем на один разряд влево. Такое сложение можно назвать параллельным, так как сумма в каждом разряде вычисляется только с учетом переноса из соседнего правого, разряда, а перенос в соседний левый разряд формируется только по значениям цифр, слагаемых в рассматриваемом разряде, и не зависит от переноса из соседнего правого разряда.

Общая блок-схема сумматора, работающего на этом принципе, показана на рис. 1.7. Из требования параллельности сложения вытекают следующие очевидные соотношения

jc, + 3/i = 5/7,-1 +да,..

Первое из них отражает тот факт, что на первом шаге суммирования в данном разряде формируется промежуточная сумма и перенос в старший разряд. На втором шаге промежуточная сумма превращается в истинную сумму.

у in

Pi*2

Так как суммирование предполагается алгебраи-. ческим, то для каждого числа х, представимого в

избыточной системе, должно существовать число х, представимое в этой системе, которое является его допол- .г-гУ/ нением до 5.

Для облегчения ряда one- \ раций желательно, .чтобы из-. быточное представление не делало бы неоднозначным представление числа нуль. Для выполнения этого требования достаточно выполнения условия, что эквиваленты, сопоставляемые цифрами данной системы счисления, всегда по своему абсолютному значению меньше, чем S.

Наконец, для возможности перевода представления числа X из обычной формы записи в запись в избыточной системе, дающей параллельное сложение двух чисел, необходимо потребовать, чтобы для любой цифры обычного представления ± Х;, где Xi бе-

Рг-т

Рис. 1.7

рется из множества {0,1,..., 5 - 1}, из того, что JC, = Spii + Wi, следует, что для Si = w, + Pj получаются допустимые значения.

Ясно, что при суммировании двух чисел с учетом, .что абсолютные значения их количественных эквивалентов не превосходят 5-1, значение переноса jO; не выходит из множества {-1, О, 1}. Тогда для промежуточной суммы можно утверждать, что I «у, К 5 - 2. Отсюда следует, что для двоичной системы Wi = 0 и это влечет за собой x,=2/7,+i, что не соответствует возможностям перевода из обычной системы представления в избыточную систему, так как при «;, = 0 и л:,= 1 рассматриваемое соотношение не может быть удовлетворено. Отсюда вытекает, что переход на па-