раллельное сложение можно рассматривать только для систем счисления с основанием 5>2.

Из всего вышесказанного вытекает, что требуется, по крайней мере, 5 различных значений для «;„ среди которых обязательно должны присутствовать значения

- 1, О, 1. Наибольшее и наименьшее значения да, связаны между собой соотношением a)max - wmin > 5 - 1. В этом соотношении знак равенства можно взять только в том случае, когда число используемых значений есть S. Совокупность всех возможных значений Wi однозначно определяется для данного 5 и содержит 25 - 3 делых значения в диапазоне от

- (5 - 2) до 5 -2.Однако необходимая совокупность значений Wi состоит всего из 5 значений из этого диапазона. Она обязательно включает в себя значения

- 1, О, 1, а в остальном произвольна. Желательно, однйко, выбирать совокупность значений Wj симметрично относительно нулевого значения.

, Пусть, выбрана некоторая совокупность значений вида {wrain - 1, о, 1,..., Wmia). Тогдз значения суммы в данном разряде берутся из множества

{wraln- 1, «;min ,..., - 1, О, 1, wmax, wmax+l}. ЕсЛИ 5

нечетно, то и)т1п == «;гаах = 0,5(5 - 1). В этом случае для каждого значения и существует его дополнение и избыточная система с основанием 5 характеризуется набором из 5 + 2. цифр { - 0,5(5+1),...,

- 1, О, 1,... ,0,5(5+1)}. Таким образом, при нечетном 5 для реализации параллельного суммирования необходимо перейти от канонической системы счисления с основанием 5 к квазиканонической системе счисления.

Если основание 5 есть четное число, то либо wmin -1, либо wmax +1 не имеют дополнения. Такое дополнение необходимо для возможности осуществления замены операции прямого вычитания операцией сложения с , дополнением. Поэтому при представлении вычитаемого необходимо иметь совокупность из (5+3)

цифр { (f + l) ,.-1,0, 1...., (-l + 1)}.-Для записи уменьшаемого и для представления суммы достаточно только (5 + 2) цифр и из вышеприведенной

совокупности цифр исключается либо цифра +

либо цифра +1. Таким образом, для четных

оснований все записи чисел в памяти могут- быть реализованы в квазиканонической системе, но при взятии дополнения в сумматоре необходимо, чтобы в сумматоре можно было- бы расширить квазиканоническое представление еще на одну цифру. Например, при использовании 5 = 4 квазиканоническая четверичная система содержит цифры { - 2, -1, О, 1, 2, з[, но в сумматоре должна еще представляться цифра - 3, являющаяся дополнением для цифры 3.

Для троичной и четверичной систем счисления соответствующиеим избыточные (квазиканонические) системы единственны. Они характеризуются наборами цифр {-1, О, 1, 2) и {-3,-2, -1, О, 1, 2} соответственно. Для систем сч:исления с основанием, большим четырех, существует несколько избыточных, не обязательно квазиканонических систем, дающих возможность получить параллельное суммирование чисел. Эти системы характеризуются наборами цифр следующего вида .

{-а, - (а -1),..,, - 1, О, -1, а},

где для четных S - + i<a<S - 1, а для нечетных

5, 0,5(5 -I- 1)<а <S - 1. Например, для десятичной системы счисления существует четыре избыточных системы, дающих возможность реализовать параллельное суммирование. Одна из этих систем является квазиканонической и содержит цифры {-6, -5, -4, -3, ~2, -1, О, 1, 2, 3, 4, 5}. При этом в сумматоре должна еще представляться цифра 6. Остальные три системы не являются квазиканоническими. Наиболее избыточна из них система, в которой цифрами являются девятнадцать цифр от ~9 до 9 включительно.

Рассмотрим теперь процесс преобразования чисел из обычной смещенной канонической системы счисления в квазиканоническур систему. Пусть число х

задано в смещенной канонической системе с основанием 5

«=-п

Выберем совокупность допустимых значений для промежуточных сумм {«;ш1п-1. О, I,... .Wmsn)- Каждой цифре в записи числа х припишем знак «минус», если X отрицательно, в противном случае оставим их без изменения.

Определим Wi из условия = jc - S/7+. Значения Pii выбираются по. следующему правилу: если Wmin < Xi < дашах, то /7;+! == 0; если Xi > «;п,ах , то Pi+i == 1; если X, < wi« , то Pi+i = - 1.

Наконец, определяются цифры квазиканонической системы Xi по следующему правилу" Xf = Wi + Pi. Знаковый разряд л:зн=Ан-

Пример 1.31. Перевести число (л:)5 = 0,203в квазиканоническую систему с цифрами {-3, -2, -1. О, 1,2, 3\.

Выбираем совокупность значений { -2, j-1, О,* 1, 2}. Определяем значения да,.: «;з = 3 -51 =2, = = 0 - 5-0 = 0, да, = 2- 5-0 = 2. Теперь определяем

.значение цифр л,: = 2 + О = 2, = О + 1 = 1, л, = = 2 + 0 = 2.

Окончательно (jc)5 = 0,212, Обратный перевод из квазиканонической системы счисления в обычную систему не вызывает затруднения, так как число, представленное в квазиканонической системе, можно рассматривать как совокупность двух чисел: положительного и отрицательного. Суммированием этих чисел на обычном сумматоре • можно получить каноническое представление.

Пример 1.32. Перевести число (л:)з = 0,2102 из квазиканонической троичной системы в каноническую систему.

Здесь (x)g означает запись числа в квазиканони-. ческой системе с основанием S.

7fi "