Полученная мантисса 0,020П222 не нормализована. Сдвигаем ее на один разряд влево, получаем 0,20П2220 и округляем до четырех разрядов после запятой. Уменьшаем порядок на единицу. Окончательный ответ (xy)s-=5°-0,2012.

Пример 1.40. Перемножить в прямом коде числа <л:)4 = 4-0,2132 и (j>4 = 4-.0,3022 в смещенной четверичной системе.

Складываем порядки в обратном коде -

(/х 0 = 0.11 [ру 0 = 3.31

10.02

0 = 0.03

Знак мантиссы произведения определяем по правилам Л, для чего переходим к прямым кодам мантисс [fnjn = 0.2132, [Шу п = 3.3022. Итак, знак результирующей мантиссы 0лЗ = 3. Теперь перемножаем абсолютные величины мантисс

У 2132 3022

• 13122

0000 + 10330 10330

13302230

Нарушения нормализации вправо нет. Округляем результирующую мантиссу до четырех разрядов после запятой. Окончательно получаем (ху)4= - 4-0,1331.

Вопрос об оценке времени умножения для чисел, представленных в естественной форме, будет рассмотрен нами в § 1.9.

Здесь же мы оценим увеличение времени умножения при переходе к полулогарифмической форме представления, считая, что среднее время умножения для естественной формы нам известно.

Прежде всего оценим влияние на время умножения положения запятой в нормализованной мантиссе. Кроме нормализованной мантиссы в рбычном смысле , (т. е. мантиссы, удовлетворяющей условию 5-"< < Их К 1)» Рассмотрим нормализацию, при которой.

1</ге[<5. Другими словами, рассмотрим запятую, фиксированную не перед первым значащим разрядом мантиссы, а перед вторым значащим разрядом.

Для обычной нормализации при умножении нормализованных мантисс вида О, л;,,х,...л;„ и О, У1У2-Уп может получиться ненормализованная мантисса вида О, 0z2...Z2„. При ее нормализации необходим сдвиг влево и уменьшение суммарного порядка на единицу. Если же использовать мантиссы, удовлетворяющие

-условию 1<т <5, то возможен результат, при котором мантисса произведения станет > 5. Для устранения этого будет необходим сдвиг результирующей мантиссы вправо на один разряд и увеличение поряд-

ка на единицу.

Выгода того или иного способа представления мантисс зависит от вероятности возникновения нарушений нормализации при первом и втором способах представления мантисс. Если через р{х) и д{у) обо- значить плотности вероятности распределений значе-

,ний 1мантисс и т, то вероятность сдвига влево для результирующей мантиссы при обычном способе нормализации есть S~"x~

Р= J р{х) f qiy)dydx.

Если предположить, что распределение значений мантисс на интервале нормализации равномерно, то, например, для случая 5 = 2 Р0,38, При этом -дополнительная вероятность (соответствующая второму способу нормализации) есть 1-Р= 1 -0,38 = 0,62. При таких предположениях обычный способ нормализации оказывается более удачным.

Однако, как показывает статистика, функции плотности вероятности для значений и Шу отличаются от постоянных (т. е. их закон распределения отличается от равномерного). Более правильную картину

дают р (х) = и q (у) - -;-. В этом случае для ж In S ylnS

S = 2 Р=1-р = 0,5. Таким образом, есть основания считать нормализацию мантиссы вида- К лг < 5 по , крайней мере не более-плохой, чем обычную норма-

лйзацию. Второй способ нормализации в некотором смысле даже более предпочтителен, чем первый, так как при сдвиге информации влево не теряется последний разряд произведения, что всегда происходит при сдвиге мантиссы вправо.

В настоящее время вопрос о выборе того или иного положения запятой в полулогарифмической форме нельзя считать окончательно решенным, так как пока еще нет точных знаний о характере функций р{х) и д{у).

Теперь можно дать, оценку времени умножения в полулогарифмической форме. Учитывая, что время сдвига приблизительно равно половине времени суммирования (более точно этот вопрос будет рассмотрен в § 1.9) и, считдя, что нарушение нормализации происходит с вероятностью 0,5, мы получим время умно-.жения в следующем виде

Ту==\ + \ +

, 7

= V + 7V

Рассмотрим теперь умножение в квазиканоииче-ской системе счисления. При этом мы будем исполь--зовать правила сложения в таких системах, рассмотренные в § 1.5i

Прежде всего опишем, как производится сдвиг при таком представлении чисел Если сдвиг происходит вправо, то в старшем значащем разряде появляется нуль. При сдвиге влево два старших разряда числа анализируются на признак переполнения после сдвига.

Само выполнение умножения идет по обычной схеме, показанной на рис. 1.9, с учетом того, что сложение-происходит по правилам сложения в квазика-нонических системах.

Пример 1.41. В десятичной квазиканонической системе найти произведение чисел = -0,338 и (jXo-0.705. .

Переходя к квазиканоническому представлению, получим <л;)ш = 0,462 и (;;)ш== 1,315

4-0.000 ;

2,зТ0 передача в сумматор множимого, умноженного

на 5

2,310