Задачи

1. Разделить {х) »= - 0,1256 на {у\ =- ~ 0,4201.

2. Разделить <л;>в = 6-0,551 на <j;>e = б~.0,021.

3. Разделить число <л;>9 = 0,42 на число <j)9 = 0,3, переведя их из симметричной девятиричной системы в смещенную девятирич-нуюсистему. Результат деления выразить в симметричной девятиричной системе и десятичной системе счисления.

§ 1.8. Оценка точности вычислений*

Проблема точности вычислений является в настоящее время одной из центральных проблем проектирования вычи1лительных машин. Выбор длины разрядной сетки машины, выбор формы представления числа в машине, наконец, системы счисления з машине тесно связаны с обеспечением заданной точности вычислений. Особенно остро этот вопрос стоит при создании специализированных и узкоспециализированных .вычислительных машин. В этом параграфе мы рассмотрим некоторые оценки точности арифметических вычислений при использовании в машине представления чисел в естественной и полулогарифмической формы.

Основными источниками погрешности в вычислительной ма- шине при естественной форме представления являются операции умножения и деления. При выполнении операций сложения и вычитания (при условии отсутствия переполнений) в естественной форме можно считать, что они выполняются точно. При полулогарифмической форме представления при операциях сложения и вычитания приходится уравнивать порядки чисел, участвующих в операции, что ведет к потере некоторых разрядов мантиссы при сдвиге. Поэтому при полулогарифмической форме представления операция алгебраического сложения также является источником погрешностей.

Операция округления может производиться несколькими способами. По крайней мере, два из этих способов: округление с недостатком и округление с избытком не могут считаться разумными, ибо в этих случаях при округлении будет накапливаться си- стематическая ошибка округления. Однако в ряде вычислительных машин нет возможности производить округление, не прибегая к обычному отбрасыванию разрядов, лежащих правее самого младшего разряда разрядной сетки машины. Для вычислительных машин с числом разрядов в разрядной сетке более 30 можно считать, что математическое ожидание ошибки округления для умножения при отбрасывании лишних разрядов равно 5""", а ди-

1 2п

сперсия этой., ошибки приблизительно равна -.S . При сдвиге на т разрядов вправо ошибка округления также является систе-

-*-При желании содержание-этого параграфа может быть опущено без ущерба для понимания дальнейшего матиала.

магической с математическим ожиданием (1 -S) "S " и дисперсией -(l-S-")•S~. "

Кроме округления путем отбрасывания содержимого разрядов, . оказывающихся правее самого младшего разряда разрядной сетки машины, можно рассмотреть еще два метода округления, более разумные с точки теории ошибок. Первый из этих методов - это хорошо известный способ округления по дополнению. В этом случае для округления ..в п-ы разряде используется информация, содержащаяся в {п+ 1)-м w (п + 2)-м разрядах. Если в {п+ 1)-м

разряде находится цифра, ббльшая - (если S -четное), то в п-й

разряд добавляется одна единица; если в (л -Ь 1)-м разряде стоцт S

* цифра, меньшая чем -, то все содержимое, стоящее в разрядах

правее п-го, отбрасывается. При случае, когда в(п 1)-м разряде S

стоит цифра - ; исследуется содержимое (п + 2)-го разряда. Если S

стоящая там цифра >"Г, то в л-й разряд добавляется единида;

если стоящая там цифра < , то содержимое разрядов, стоящих справа" от п-го разряда, отбрасывается, если же в (л -Ь 2)-м разряде стоит -, то единица в п-й разряд прибавляется с веро-ятностью 0,5.

При нечетном S прибавление единицы в п-й разряд происхо-

S -1

дит,если в (п -Ь 1)-м разряде стоит цифра - . В противном «случае, содержимое всех разрядов, стоящих справа от л-го, отбра-

tl 1

сывается. Погрешность округления в этом методе < S

Второй метод округления, обладающий определенными достоинствами, может быть назван методом случайного округления. Сущность этого метода состоит в том, что в схему вычислителв-ной машины вводится специальный датчик случайного округления. Этот датчик независимо от значения числа, подлежащего округлению, вырабатывает значение О е -вероятностью 1 - wS""" и " с вероятностью WS"".Значение,, полученное на выходе датчика случайного округления, прибавляется в п-й разряд округляемого числа. При таком способе округления погрешность округления является случайной величиной с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, не превосходящей > " . Величина w есть случайная величина, распределеннаяв интервале (О, S~",px есть порядок округляемого числа. Лля числа, представленного в естественной форме, /;j-=0. ... ...

Оценканакопления погрешности при производстве вычислений на машине особенно затруднительна при использовании полулогарифмической формы представления с нормализованной мантиссой. При таком представлении возможно перемещение ошибки из младших разрядов мантиссы вее старшие разряды. Это проис--ходит, например, при вычитании друг из друга близких между собой мантисс. В результирующей мантиссе первые ненулевые разряды оказываются сдвинутыми в правую часть разрядной сетки машины. При нормализации они перемещаются в левую часть разрядной сетки мантиссы, давая большую погрешность результата.

Для автоматической.оценки накопления ошибок при вычислении с плавающей запятой используется специальное представление, при котором кроме записи в разрядной сетке числовой информации используется еще запись информации об ошибке, содержащейся в данной числовой информации. Примером такой системы может служить разработанная в США система ФПМ. В этой системе предполагается, что ошибки всех чисел являются независимыми иих распределение подчинено нормальному закону. Эти допущения весьма существенны, так как на практике ошибки при вычислениях, конечно, являются зависимыми и их распределение может быть весьма далеким от нормального.

В системе ФПМ считается, что все числа, записанные в разрядной сетке машины, имеют погрешность +0,5 последней значащей цифры. Значение этой вероятностной ошибки записывается в исходных данных в разрядах, находящихся правее самого младшего разряда мантиссы. После производства операций нормализа--ция осуществляется не всегда, а лишь в тех случаях, когда срабатывает «критерий сдвига», оценива1бщий величину погрешности, вносимой в число при нормализации. Критерии сдвига имеют следующий вид. При умножении сдвиг результирующей мантиссы влево на один разряд возможен только тогда, когда выполнено неравенство

где т означает абсолютную величину нормализованной мантиссы. Аналогичные правила вырабатываются и-для других операций.

В § 2.1 мы приведем некоторые бценки накопления ошибок при реализации операции умножения в двоичной системе счисления. Для произвольных систем такие оценки пока неизвестны.

Следует отметить, что на самом деле оценка точности вычислений на машинах резко зависит не только от состава выполняемых операций, но и от их следования друг за другом. Б настоящее время влияние этого фактора на точность вычислений Только еще начинает изучаться.

§1.9. Оценки для сиетем счисления с. натуральным основанием

В этом параграфе* мы дадим некоторые способы оценки эффективности выбора того или иного основания системы счисления для представления информа-