ций в вычислительной машине и производства с этими кодами арифметических операций.

К сожалению, все приводимые ниже оценки носят лишь приближенный характер и сильно зависят от конструктивного решения тех или иных схем производства операций в машине.

Для получения общей оценки расхода оборудова- ния при представлении информации в машине мы вв.е-дем параметр Л, характеризующий наибольшее число различных чисел, которые мы хотим представить в разрядной сетке машины. Это означает, что в машине необходимо выбрать разрядную сетку с таким числом разрядов й, в котором можно записать N различных чисел, и такое," что в (л - 1)-м разряде N различных чисел записать уже невозможно.

Значение п есть функция N и 5. При фиксированном Л можно считать, что n = n{S). Легко показать, что при системе счисления с основанием S, которая ,не является избыточной, общее число различных чисел, которое можно записать в разрядной сетке, имеющей разрядов, равно 5". Отсюда мы получаем, что л должно быть выбрано из условий я> logA и (я- 1)< "< loggN. Так как имеет смысл использовать разрядную сетку полностью, то будем считать, что задано не N, а п. При этом N==8" й n = ].oggN.

Для сравнения между собой различных систем счисления введем гипотетическую единицу сложности элемента. Для этого возьмем элемент, имеющий два-устойчивых состояния: «включено» и «выключено». Каждый такой элемент сопоставим определенной цифре данной системы счисления с основанием S. Каждому разряду в разрядной сетке машины сопоставим S условных элементов. Запись некоторой цифры в данный разряд будет отождествляться с включением условного элемента, соответствующего записываемой в данный разряд цифре.

На рис. 1.12 показана замена разрядной сетки, со- стоящей из пяти разрядов, в которые записываются четверичные числа, матрицей, состоящей из условных элементов. Очевидно, что для системы счисления с основанием 5 и разрядной сетки, содержащей п раз-

4 3 2-

УслоВный , элемент

Рис. 1.12

рядов, соответствующая матрица из условных элементов имеет.5« элементов.

Будем характеризовать сложность выбранного основания системы при заданном п выражением r - Sti, т. е. числом условных элементов, которое необходимо для моделирования записи 5-ичных чисел в данной разрядной сетке. Отметим, что такая характеристика сложности на самом деле эквивалентна утверждению о том, что сложность элемента, моделирующего цифру в одном разряде 5-ичной системы счисления, прямо пропорциональна S, т. е.. пропорциональна числу устойчивых состояний, в которых может находиться данный элемент. Это предположение справедливо далеко не для всяких элемен-тов. Например, оно не выполняется для механических элементов типа колес Однера, используемых в арифмометрах, многопозиционных реле, электронно-ламповых схем и т. д. Именно поэтому та характеристика сложности, которую мы получим ниже, не может быть полностью справедливой для любой системыфизических элементов, используемых для записи цифр в данной системе счисления.

Учитывая, что n = \QgN, получаем оценку сложности в следующем виде:

Принято рассматривать не такую оценку сложности, а относительную оценку сложности по отношению к "сложности, получающейся при использовании двоичной системы Счисления,

./.(5)==il. (1.9)

На рис. 1.13 показан график этой функции. Для нас интерес представляют лишь целочисленные значения абсцисс. Значения функции для некоторых значений S указаны в таблице на рис, 1.13.

- Найдем минимальное значение F{S). Для этого продифференцируем Р{8) и приравняем производную нулю. Используя модуль перехода, получаем

>(5)=. 5" *

21ogjArinS

In 5

Тогда

Г (5) =

1п S

Отсюда получаем, что минимум функции F{S) достигается при S - e. Ближайшее целое 5, обеспечиваю-гг) щее минимум F{S),

равно трем. Из этих рассуждений обычно делают вывод о том, что троичная система счисления * является наиболее экономичной по расходу оборудования для представления чисел в машине.

Двоичная и четверичная системы с точки зрения оценочной функции F{S) одинаковы и дают расход оборудования для представления чисел в машине, близкий к минимальному. Применение обычной десятичной системы в 1,5 раза менее выгодно, чем- использование двоичной или четверичной систем счисления.

. Приведенная оценочная функция характеризует лишь одну сторону проблемы выбора основания системы счисления, а именно: расход оборудования на представление чисел из заданного диапазона в вычислительной машине. Однако не менее важна и другая сторона проблемы - оценка удобства выбранного основания с точки зрения времени выполнения основных арифметических операций в машине и расхода оборудования на производство этих операций.

Л 1 2 3 5 6 7 8 S 10 Рис."1.13