времени. Если в q одновременно анализируемых соседних разрядах множителя стоит, например, q нулей, то вместо серии сложений и сдвигов можно ограничиться одним сдвигом содержимого сумматора на q разрядов. Если же, например., в q разрядах множителя анализируемых одновременно стоит комбинация цифр (5- 1) (5-1)...(5- 1), то можно заменить эту комбинацию цифр на 1 0...0 -00... 1 и снова огра-

ничиться всего одним вычитанием множимого и сдвигом на q разр1Д0в.

Пусть теперь одновременно анализируется q разрядов множителя. Положим, что все комбинации цифр в q разрядах равновероятны. Через (5) обозначим количество тактов сложения-вычитания, которое при этом потребуется для q циклов умножения в системе счисления с основанием 5, а через A{S) обозначим среднее количество тактов сложениягвычитания, приходящихся на один разряд множителя.

Для сравнения между собой. различных систем счисления по скорости умножения- с расшифровкой разрядов множителя можно воспользоваться следующей оценочной функцией

)((5) =

(1.18)

Множитель, стоящий в этом выражении справа от квадратной скобки, "означает, что в системе счисления с основанием 5 и в двоичной системе счисления точность вычислений одинакова.

На основании проведенных исследований было найдено выражение для (5) в следующем виде:

.(•5) == ТтЛтГ+-2 +[1+ (-1)1 X

4(5+1)

X[l-( 5)-1+[l-(-l)l Отсюда

" (- = [5 + 5 - 2 + [1 - (-1)]}.

д-+к, 4(5 +1)1. 25 i

В нижеследующей таблице приведены значения Х(5) для некоторых оснований систем счисления.

Р-79.-8 /из

Таблица 1.5

Из этой таблицы вытекает, что двоичная система счисления с точки зрения оценочной функции Х(5) является наиболее выгодной.

Переход к пределу при д-*со носит несколько формальный характер, так как при фиксированной длине разрядной сетки в машине д не может увеличиваться неограниченно. Однако это допущение не столь существенно, тате как.уже при небольших д значение Ag{S) близко к своему пределу. Например, для того чтобы Ag{S) отличалось от своего предельного значения меньше чем на 107о, при 5 = 2 достаточно расшифровывать одновременно 4 разряда множителя, при 5 = 4 достаточно иметь д = 2, а для всех остальных 5 это достигается уже при =1.

Последнее, в частности, означает, что при системах счисления с основаниями, отличными от 2 и 4, предложенный метод ускорения умножения малоэффективен.

Наконец, при выборе бснования системы С5исления учитывают число различных делителей, которое имеет основание. Чем больше делителей имеет основание, тем большая часть дрдбей будет записываться в этой системе счисления в конечном виде и, следовательно, тем меньшую абсолютную погрешность мы будем получать при записи дробных чисел в машине.

Например, в шестиричной системе счисления все

дроби вида -, - или- будут записываться в ко-

2 3 6"

печном виде, так как 2, 3 и 6 являются делителями числа 6. В десятичной системе в конечном виде

Представляются все дроби вида -> "Г 77»

как 2, 5 и 10 являются делителями основания системы.

Среди небольших по величине оснований наибольшее число делителей имеет основание, равное 12.

в двенадцатиричной системе все дроби вида , 4~ >

2 3

- , -, выражаются конечным образом. Это свойство побудило сторонников создания мировой систе--мы счисления выдвинуть идею о переходе при всех" измерениях и расчетах на систему счисления с основанием 12. Однако с точки зрения • вычислительной техники преимущества двенадцатиричной системы весьма невелики так как все оценочные функции для

- такой системы дают результаты, худшие, чем для десятичной системы, и намного худшие, чем для двоич-

ной системы счисления.

Исходя из всего вышесказанного, можно утверждать, что интерес могут представлять лишь системы счисления с основаниями 2, 3, 4, 6, 8.и 10.-Именно эти системы и будут рассматриваться нами в двух последующих главах.

В настоящее время реально действуют вычислительные машины, использующие двоичную, троичную, восьмиричную и десятичную„системы счисления. При этом наметилась тенденция использовать двоичную или троичную системы в универсальных машинах большой производительности, а восьмиричную или десятиричную в машинах с невысокой производительностью, но с частым вводом и выводом информации. -К таким машинам, в частности, относятся экономические и информационные машины.

Однако все существующие вычислительные машины

" пока что строятся на базе двоичных элементов. Для моделирования цифр 5-ичной системы счисления используется такое минимальное число двоичных элементов, которое обеспечивает однозначное двоичное представление каждой цифры 5-ичной системы. Так как в п разрядах при двоичной системе счисления можно записать 2" различных двоичных чисел, то при замене 5-ичных цифр их двоичными эквивалентами минимальное число необходимых двоичных элементов (разрядов) может быть определено из соотношения /j===log25. Так как число элементов должно быть целым числом, то при 8=2 число необходимых элементов есть [loga-Sj-Ь 1. Здесь квадратные скобки означают целую часть логарифма.

8* • 115