При таком способе представления цифр .§-ичной системы естественно оценивать сложность системы не с помощью функции F(S), а с помощью функции

X(S)

(1.19)

~l[log.5] + l, 5=2

На рис. 1.15 показан график этой функции и приведена таблица ее значений при некоторых 5.

Максимальное значение <]>(5) достигается при 5=5. Это означает, что пятиричная система является наименее выгодной, если

15у-\ -- .\- I • -\ I I I I-I при представлении

цифр используется замена 5-ичных элементов на один 5-ичный разряд равно X (5). Функция \ (5) для всех систем с основанием вида 2* равна единице, т. е. все такие системы с точки зрения расхода оборудования на представление чисел из данногр диапазона эквивалентны между собой. Для 5>6.<](5)</=" (5) и, следовательно, двоичное кодирование цифр Ри- 1-5 • 5-ичной системы более выгодно, нежели создание 5-ичных элементов. Последнее утверждение справедливо лишь при выполнении условия, что сложность 5-ичного элемента прямо пропорциональна 5. При 5-••оо ф(5)-►I и некоторый интерес может представить изучение систем счисления с большим основанием при двоичном кодировании цифр этой системы;

При оценке десятичной системы с помощью оценочной функции F{S) мы убедились, что десятичная система примерно в 1,5 раза более сложна, чем, двоичная. С точки же зрения оценочной функции сложность десятичной системы лишь на 20% больше сложности двоичной системы.

С помощью функции <{S) можно оценить оптимальность избыточных систем счисления, введенных нами в § 1.1. Соотношение (1.19) для квазиканонических избыточных систем имеет вид

Г (5) = ., (1.20)

10g2 S

log2(5 + 2), 5 + 2 = 2 [log,(S + 2)] + U S + 2=2\ а для квазиканонических модифицированных избцточ-ных систем -

Г(5)Р- ,(1.21)

logs S

X-/5) = /log2(5+2), 5 + 2 = 2 . [log2(5+2)] + l, 5 + 2=72\

Сравнение квазиканонических систем счисления при различных S дано в нижеследующей таблице. Здесь означает число двоичных разрядов, которое нужно затратить в соответствии с соотношениями (1.19), (1.20) и (1.21) на представление в канонической, квазиканонической и модифицированной квазиканонической системах диапазон чисел от О до 10

Т а б .4 и ц а 1.6

Йз этой таблицы следует, что для обычнйх сисТём наиболее эффективны двоичная и четверичная системы, для квазиканонических систем - тринадцатиричная и четырнадцатиричная системы счисления, а для модифицированных квазиканонических систем счисления .наиболее эффективны семиричная, тринадцатиричная й четырнадцатиричная системы. Для обычно используемых систем счисления (5 = 2, 3, 8, .10, 16) наиболее выгодна квазиканоническая десятичная система и модифицированная квазиканоническая десятичная система.

Следует подчеркнуть, что полученные нами оценки определяют эффективность того или иного основания

* системы счисления избыточного типа лишь с точки зрения расхода оборудования на представление чисел в машинах, а не с точки, зрения удобства реализации операций в машине. Из вышеприведенной таблицы, например, вытекает, что двоичная модифицированная квазиканоническая система является наименее выгод-

* ной. Однако именно такая двоичная система с цифрами {-1, 0,1) весьма удобна для производства арифметических операций. В § 2.3 мы подробно рассмотрим свойства такой системы.

Представление 5-ичных цифр двоичными кодами, будет подробно рассматриваться нами в пятой главе, в которой будут получены более точные способы оценки разумности двоичного кодирования канонических систем счисления-.

Задачи

* . 1. Считая, что сч.ожность S-ичного .элемента r(S) зависит от S, как r(S) = ys-n, построить оценочную функцию по аналогии с F{S) и иссчедовать ее свойства. ,

2. Аналогичная задача при условии, что г(S) - S-n.

3. Рассмотреть избыточную систему- с основанием 5 и (S -Н 4) цифрами. С-помощью соотношения (1.19) построить оценочную функцию и исследовать ее свойства.