вости теоремы 1.2 и устранение любой из них делает теорему 1.2 неверной.

Определение 1.4. Системы счисления с нечетным натуральным основанием 5 = 2/? 4=1 и цифрами {-R, - R + \, ... , О,... , R} называются симметричными системами счисления.

Симметричные системы счисления распространены не так широко, как смещенные системы, хотя по ряду характеристик они явно предпочтительнее смещенных систем. Достаточно указать, что при том же количестве цифр, что и в смещенной системе, пв- одному и тому же основанию S симметричная система пред- . ставляет все целые числа, а смещенная система - только числа одного знака.

Если система счисления такова, что ее основание является четным числом. То построение симметричной канонической системы становится невозможным. . В самом деле, пусть 5 = 2/?. Тогда, если предположить, что задана симметричная система, то из того,, •что при этом задано множество цифр \ - R., R + 1,..., -1, О, 1,..., R), следует, что для числа xR

R = R.SP и R== l-S + (-R)S° ==2R-R.

Это свидетельствует о нарушении требования одно--значности представления, и рассматриваемая система не является канонической.

Таким образом, при четном основании симметричная система счисления построена быть не может.

Определение 1:5. Системы счисления с натуральным основанием и цифрами {-Q, - Q-f 1, ... , О,..., Т\, где {Q)={T), а общее число цифр равно 5, называются кососимметричными системами счисления.

По своим свойствам кососимметричные системы занимают промежуточное место между симметричными и смещенными системами. Однако кососимметричные системы по целому ряду своих свойств мало эффективны для использования в вычислительных машинах. Подробнее этот вопрос будет рассмотрен нами в § 1.4.

PaccMt)TpHM вопрос о диапазоне представления чисел, если число разрядов, используемых для записи числа, фиксировано и равно п. Не теряя общности,, можно предполагать, что эти п разрядов имеют но-

мера О, 1-, ... , й- 1. Если мы имеем систему счисления с основанием S, то при неизбыточном предстай-лении в каждом разряде может использоваться одна из S различных цифр. Тогда общее количество различных комбинаций цифр, которое можно получить в п разрядах, равно В силу однозначного представления чисел, это соответствует тому, что в п разрядахможет быть записано S" различных чисел.

Если рассматриваемая система является cмeщe-ной,. то с помощью п разрядов в ней можно представить все целые числа одного знака (положительные или отрицательные) из диапазона {О, 5" - 1} или {О, - При симметричной системе и ос-

новании 5 = 2/?+1 диапазон представления есть

. Наконец, для ко-

сосимметричных систем с Q неотрицательными эквивалентами и S - Q отрицательными эквивалентами цифр диапазон представления есть {(Q-1)" -1,, -iS-QT-ll

Рассмотрим теперь проблему перевода записи числа x из одной канонической системы счисления в другую. В начале будем предполагать, что рассматриваются" смещенные системы счисления. При этом, не теряя общности, можно предположить, что цифрами такой системы являются О, 1, 2, ... , S - 1. Сначала рассмотрим перевод для случая целых чисел. Пусть целое число х представляется в системе счисления с основанием 5 как

Это представление будем считать известным. Задача состоит в определении на основе этого представления числа x в системе счисления с основанием R

(•ь= muR"+m)L-i-R"- + m)\i-R+кмо-

Неизвестными здесь являются параметр от и,значения цифр в разрядах от нулевого до т-го.

Будем предполагать также, что \{aj)]f, и {{bj)] отличны от нуля.

Так как оба выражения для (л:) ,и {х) имеют один

и тот же количественный эквивалент, то

+m)L-R+[mm-i-R""-+... +

Разделим обе части этого равенства на R по правилам деления в системе счисления с основанием 5. Тогда

[(«Д- + - + + -

, • +-. + щ)]г + т)]о-- • •

Остаток от этого деления совпадает с цифрой •[(у)]о.

Отбросим слева и справа остатки от деления. Тогда получим

, {x)s = [ij)L-S + [К)]. -5-1 + ... + 54

Mj.-mUR"- + [ibj)L ,-R"- + ... + [(bj)]„

где X есть число, равное частному от деления х на R. Приравняем эти разложения

Kaj)]-S+[{aj)U -S- + ... + -5» +

+ [{aj)]o-[ibj)L-R-- + [ibJ)L-гR- + ... + Снова делим обе части этого равенства на R по правилам деления в системе счисления с основанием 5

Остаток от деления совпадает с \{Ь>\. Далее повторяем процесс деления вновь полученного частного на /? и т. д.