При этом использование т ячеек памяти совсем необязательно.

При записи двоичного числа в одной ячейке памяти может быть получено увеличение скорцсти вычислений при переходе к системе счисления с основанием 2*. Правда, в последнем случае это возможно лишь при полулогарифмической форме представления информации в вычислительной машине.

В этом случае мантисса числа представляется в обычной двоичной системе, а порядок считается записанным в системе счисления с основанием 2*. Мантисса считается нормализованной, если она по модулю меньше единицы, но не меньше 2~. Таким приемом удается избежать большого числа нормализации результирующей мантиссы, что приводит к большей точности вычислений на машинах. При существующих ограничениях на длину разрядной сетки в машине для представления мантисс ,(20-30 двоичных разрядов) невыгодно выбирать большое значение А, так как при большом k полулогарифмическая форма представления становится малоэффективной из-за того,- что почти все числа оказываются нормализованными и диапазон относительной погрешности растет. Наиболее разумны значения к, лежащие в пределах от 3 до 5, что соответствует использованию в качестве основания системы счисления значений 8, 16 и 32. - Переход на такое представление чисел в машинах с полулогарифмической формой представления числовой информации приводит к заметному повышению производительности за счет уменьшения процента операций типа сдвиг мантиссы влево и уменьшения порядков. По данным статистики такие операции составляют около 9% от общего числа операций, выполняемых вычислительной-машиной универсального типа при работе в режиме с плавающей запятой.

Пример 3.6-. При = 4 найти сумму двух чисел <л)2 = 2-0,11011101 и (>;)2 = 2-0,11010010.

При переходе на шестнадцатиричные порядки получаем (л;)2,б = 2.0,11011101 и (у)2,,б = 24-0,00110100. При таком переходе обе мантиссы нормализованы, ибо по модулю они заключены в диапазоне от

до 1 без включения 1. Два крайних правых разряда числа у исчезли при сдвиге мантиссы этого числа на два разряда вправо. Для реализации сложения уравниваем порядки, увеличивая меньший порядок до большего. Так как разница порядков равна в нашем случае единице, то мантисса сдвигается вправо на четыре разряда

,0.00001101 "0.00110100

0.01000001

Результирующая мантисса является нормализованной, ;рсли бы была использована обычная двоичная система, те, как нетрудно видеть, результирующая мантисса имела бы нарушение нормализации влево, что привело ёы к необходимости затраты машинного времени на сдвиг результирующей мантиссы на один разряд вправо и на увеличение порядка результата на одну единицу.

Оценим тот выигрыш во времени, к которому приводит использование записи двоичного числа в системе счисления с основанием 2* для порядков и сохранением двоичной записи для мантисс.

Разобьем полное время операции * на два слагаемых, первое из которых есть время, затрачиваемое непосредственно на операцию сложения, а второе - время, затрачиваемое на нормализацию результата. При этом для последовательности из / операций

и - • ,

п . •

72= 2 (Л + 9г)"сд.

Здесь t есть отношение времени суммирования к времени сдвига"* в данном сумматоре; Pi и вероятности выполнения операции выравнивания порядков и нормализации на i порядков (О < i < я); р - вероятность того, что разность порядков слагаемых такова, что при выравнивании порядков мантисса

* Под операцией понимается либо одно сложение или вычитание, либо один шаг в операции умножения или деления.

числа с меньшим порядком при сдвиге вправо дает машинный нуль; q - вероятность того, что одно из •слагаемых равно нулю.

Если используется представление порядка в системе € основанием 2*, то время выполнения / операций есть -

Здесь

означает целую часть числа -,

Это COOT-

LA: J

ношение справедливо в предположении, что переход к системе с основанием 2* исключает необходимость нормализации вправо и выравнивание порядков и нормализацию влево на 1, 2, ..., k- \ разряд. Последнее предположение приводит к тому, что при г > уменьшение времени нормализации числа при переходе к представлению порядков в системе с основанием 2* таково, что это "время уменьшается на величину

Выбор Оптимально- го значения k происходит в соответствии с исследованием пове- ВО дения функции

v() = .100%,

которая показывает, во сколько раз проис-ходит уменьшение времени выполнения последовательности из I операций при переходе от двоичного представления к пред- о ставлению рассматри- / 2 3 4 5 л ваемого типа. , Рис. 3.1

Поведение этой функции существенно зависит от рассматриваемого класса задач, так как оно предопределяется средними